知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=
a•2x+a-2
2x+1
（a∈R）
（1）若f（x）为奇函数，求a的值．
（2）若f（x）定义在[-4，+∞）上，且对f（x）定义域内的一切实数x，f（cosx+b+
1
4
）≥f（sin²x-b-3）恒成立，求实数b的取值范围．

难度：中等

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2．已知常数a≠0，f（x）=alnx+2x．
（1）当a=-4时，求f（x）的极值；
（2）当f（x）的最小值不小于-a时，求实数a的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R，e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对一切x∈R，关于x的不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立，求m+n的最大值．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=aln（x-a）-
1
2
x²+x（a＜0）．
（1）当a=-2时，求f（x）在[-
3
2
，2]上的最小值（参考数据：ln2=0.6931）；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

难度：较难

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5．已知f（x）=e^x-ax．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值集合；
（2）若方程f（x）=a（lnx-x+1）（a＞0）有两个不等的实数根，x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），求证：
1
a
＜x₁＜1＜x₂＜a．

难度：较难

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6．设函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a．
（1）若y=f（x）在x=0取得极小值，求a的值及f（x）的极小值；
（2）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（3）当a＜1时，若存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＜0，求a的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=lnx+ax²，g（x）=
1
x
+x+b，且直线y=-
1
2
是函数f（x）的一条切线．
（1）求a的值；
（2）对任意的x₁∈[1，
e
]，都存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范围
（3）已知方程f（x）=cx有两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），若g（x₁+x₂）+2c=0，求证：b＜0．

难度：中等

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8．求函数f（x）=-2cosx-x在区间[-
π
2
，
π
2
]上的最大值与最小值．

难度：中等

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9．己知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线，f（1+x）=f（1-x），f（1）=a，且0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=（x²+ax）e^x的两个极值点为x₁，x₂且x₁＜x₂，x₁+x₂=-2-
5
，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=kx+1
（1）求k，x₁，x₂的值；
（2）当m≤-e时，求证：[f（x）+2e^x]•[（x-2）e^x-m+1]＞
3
4
e^x．

难度：中等

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