知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．数列{a_n}满足an+1=
an
a
2
n
+1
，n=1，2，3，…，{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）当a₁=2时，a₂= ；
（Ⅱ）数列{a_n}是否可能为等比数列？证明你的推断；
（Ⅲ）如果a₁≠0，证明：Sn=
a1-an+1
a1an+1
．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2ⁿ，且a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=
an+1
anan+1
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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3．若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=9，且a_n+1=a

2
n
+2a_n，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n．
（Ⅲ）在（2）的条件下，记b_n=
lgTn
lg(an+1)
，求数列{b_n}的前n项和S_n，并求使S_n＞4030的n的最小值．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中n≥2，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•2^-n，T_n为数列{b_n}的前n项和．
①求T_n的表达式；
②求使T_n＞2的n的取值范围．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，对任意的n∈N^*都有a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ，记b_n=
an-2n
3n
（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求S_n；
（3）证明：存在k∈N^*，使得
an+1
an
≤
ak+1
ak
．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}满足：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
n2
2
（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前n项和，对于任意的正整数n，S_n＞2λ-
1
3
恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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7．数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=
bn
1+2bn

（1）求b₂、b₃、b₄并猜想数列{b_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想；
（3）设c_n=b_nb_n+1，求数列{c_n} 的前n项和T_n．

难度：中等

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8．已知二次函数f（x）=x²，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）均在函数y=f（x）上的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
1
anan+1
}前n项和为T_n，问满足Tn＞
100
209
的最小正整数n是多少？．

难度：中等

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9．数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n+2．
（I）求证：{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=
n
an+2
，求和S_n=b₁+b₂+…+b_n，并证明：∀n∈N*，
1
5
≤Sn＜
4
5
．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}是各项正数首项1等差数列，S_n为其前n项和，若数列{
Sn
}也为等差数列，则
Sn+8
an+1
的最小值是．

难度：中等

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