知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1a_n-a_n²=1（n∈N^*）
（I）若a₃=
5
2
，求实数a的值；
（Ⅱ）设b_n=
an
n
（n∈N^*）．若a=1，求证
2
≤b_n＜
3
2
（n≥2，n∈N^*）．

难度：中等

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2．给定数列{a_n}，记该数列前i项a₁，a₂，…，a_i中的最大项为A_i，即A_i=max{a₁，a₂，…，a_i}；该数列后n-i项a_i+1，a_i+2，…，a_n中的最小项为B_i，即B_i=min{a_i+1，a_i+2，…，a_n}；d_i=A_i-B_i（i=1，2，3，…，n-1）
（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d₁，d₂，d₃；
（2）若S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，有(1-λ)Sn=-λan+
2
3
n+
1
3
，其中λ为实数，λ＞0且λ≠
1
3
，λ≠1．
①设bn=an+
2
3(λ-1)
，证明数列{b_n}是等比数列；
②若数列{a_n}对应的d_i满足d_i+1＞d_i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}满足：a₁a₂…a_n=1-a_n，n∈N^*．
（1）证明：{
1
1-an
}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=
1(n=1)
a1a2…an-1(n≥2)
（n∈N^*），S_n=T₁+T₂+…+T_n，证明：
1
2
≤S_2n-S_n＜
3
4
．

难度：较难

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4．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）设b_n=
2n-1
an•an+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜
1
2
．

难度：中等

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5．在数列{a_n}中，a1=
5
3
，且3a_n+1=a_n+2．
（1）设b_n=a_n-1，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足a₁=
1
2
，a_n=
an-1
2-an-1
（n≥2）．
（1）求证：{
1
a n
-1}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=
2n-1
an
，求{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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7．若数列{a_n}中，a₁=
1
3
，a_n+1=
n+1
3n
a_n
（Ⅰ）证明：{
an
n
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜
3
4
．

难度：中等

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8．设Sn=
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)

（1）写出S₁，S₂，S₃，S₄的值，
（2）归纳并猜想出S_n．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}满足，a₁=1，a_n+1=
1
2
a_n+1（n∈N^*）．
（I）求证：数列{a_n-2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）•（2-a_n）（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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10．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2+2
anan+2
=4a_n+1-a_n（n∈N^*），且a₁=1，a₂=4．
（1）证明：数列{
an
}是等差数列；
（2）数列{
4n+2
anan+1
}的前项n和为S_n，求证：S_n＜2．

难度：中等

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