知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．当n∈N^*时，S_n=1+2+3+…+（n+3），T_n=
(n+3)(n+4)
2
．
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n与T_n的数量关系，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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2．已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a2=
1
2
，且a₃，a₅，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=3nan+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}中，a₁=4且an=3an-1+3n-2(n≥2，n∈N*)．
（Ⅰ）证明：数列{
an-1
3n
}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n-1}的前n项和S_n．

难度：中等

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4．函数f（x）=x-cos2x，则f（
π
16
）+f（
2π
16
）+f（
3π
16
）+…+f（
7π
16
）= ．

难度：中等

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5．已知{a_n}，{b_n}均为等比数列，其前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若a₁=8，b₂=24，且对任意的n∈N^*，总有
Sn
Tn
=
3n+1
4
，求数列{na_n]的前n项和P_n；
（2）当n≤3时，b_n-a_n=n，若数列{a_n}唯一，求S_n．

难度：较难

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6．已知等比数列{a_n}中，a₁=1，且a₂+a₄=3（a₃+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a₂+log₃a₃+log₃a₄+…+log₃a_n+1，求数列{
1
bn
}的前n项和．

难度：中等

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7．数列{a_n}的前n项和为S_n，2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*
（Ⅰ）证明：{a_n-n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{n（a_n-n）}的前n项和，求证：T_n＜
3
2
．

难度：中等

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8．若数列{a_n}的首项为1，且2a_n+1-a_n=2，
（1）求证：{a_n-2}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=-n（a_n-2），求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜4．

难度：中等

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9．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列S₁，S₂，S₄，…的公比q；
（2）设b_n=2 an，且S₂=4，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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10．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（a_n，s_n）在抛物线y=λx²上．
（1）求证：数列{a_n}为单调递增数列；
（2）若λ=1，证明：S_n≥(
n+1
2
)2：
（3）是否存在实数λ，使数列{a_n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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