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          共50条信息

            • 1． 已知函数\(f(x)= \dfrac {3}{2}x+\ln (x-1)\)，设数列\(\{a_{n}\}\)同时满足下列两个条件：\(①a_{n} > 0(n∈N^{*})\)；\(②a_{n+1}=f′(a_{n}+1)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)试用\(a_{n}\)表示\(a_{n+1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)记\(b_{n}=a_{2n}(n∈N^{*})\)，若数列\(\{b_{n}\}\)是递减数列，求\(a_{1}\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 2． 已知数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{n+1}-a_{n}=2(b_{n+1}-b_{n})\)，\(n∈N^{*}\)．
              \((1)\)若\(b_{n}=3n+5\)，且\(a_{1}=1\)，求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(\{a_{n}\}\)的第\(n_{0}\)项是最大项，即\(a_{n\_{0}}\geqslant a_{n}(n∈N*)\)，求证：\(\{b_{n}\}\)的第\(n_{0}\)项是最大项；
              \((3)\)设\(a_{1}=3λ < 0\)，\(b_{n}=λ^{n}(n∈N^{*})\)，求\(λ\)的取值范围，使得对任意\(m\)，\(n∈N^{*}\)，\(a_{n}\neq 0\)，且\( \dfrac {a_{m}}{a_{n}}∈( \dfrac {1}{6},6)\)．
              难度：中等
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            • 3．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足：\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+2}\) \(\left( n\in {{N}^{*}} \right).\)若\({{b}_{n+1}}=\left( n-2\lambda \right)\cdot \left( \dfrac{1}{{{a}_{n}}}+1 \right)\) \(\left( n\in {{N}^{*}} \right)\)，\({{b}_{1}}=-\lambda \)，且数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是单调递增数列，则实数\(\lambda \)的取值范围是____。

              A．\(\lambda > \dfrac{2}{3}\)
              B．\(\lambda > \dfrac{3}{2}\)
              C．\(\lambda < \dfrac{2}{3}\)
              D．\(\lambda < \dfrac{3}{2}\)
              难度：较难
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            • 4．

              设正项数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和为\({S}_{n} \)，且满足\({S}_{n}= \dfrac{1}{2}{{a}_{n}}^{2}+ \dfrac{n}{2}\left(n∈N*\right) \)．

              \((1)\)计算\({a}_{1}\;,\;{a}_{2\;},\;{a}_{3} \)的值，并猜想\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式；

              \((2)\)用数学归纳法证明\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式．

              难度：较易
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            • 5．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=3S_{n}(n\geqslant 1)\)，则数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为 ______ ．
              难度：中等
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            • 6． 数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，且\((n+2)a_{n+1}=na_{n}\)，则它的前\(20\)项之和\(S_{20}=(\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {18}{19}\)
              B．\( \dfrac {19}{20}\)
              C．\( \dfrac {20}{21}\)
              D．\( \dfrac {21}{22}\)
              难度：中等
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            • 7． 已知各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n} > 1\)且\(6S_{n}=(a_{n}+1)(a_{n}+2)\)，\(n∈N^{*}\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项的和为\(b_{n}=-a_{n}+19\)，求数列\(\{|b_{n}|\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 8． 若数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}-(-1)^{n}a_{n-1}=n(n\geqslant 2)\)，\(S_{n}\)是\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，则\(S_{40}=\)________．
              难度：难
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            • 9．

              设\(S_{n}\)是数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和，已知\({a}_{1}=1,{a}_{n+1}=2{S}_{n}+1(n∈{N}^{∗}) \)

              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{ a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(\dfrac{b_{n}}{a_{n}}{=}3n{-}1\)，求数列\(\{ b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较难
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            • 10． 若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(a_{n}+2S_{n}S_{n-1}=0(n\geqslant 2)\)，\(a_{1}= \dfrac{1}{2}\)．
              \((1)\)求证：\(\left\{ \left. \dfrac{1}{S_{n}} \right. \right\}\)成等差数列；

              \((2)\)求数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的通项公式．

              难度：难
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