知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意正整数n，都有a_n=
3
4
Sn+2．
（1）设b_n=log₂a_n，求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）在（1）的条件下，设c_n=（-1）ⁿ⁺¹
n+1
bnbn+1
，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：
1
21
≤T_n≤
2
15
．

难度：中等

解析收藏试题篮
2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，向量
a
=（S_n，1），
b
=（2ⁿ-1，
1
2
），满足条件
a
∥
b
，
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）设函数f（x）=（
1
2
）^x，数列{b_n}满足条件b₁=1，f（b_n+1）=
1
f(-bn-1)
．
①求数列{b_n}的通项公式，
②设c_n=
bn
an
，求数列{c_n}的前n项和T_n．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．已知无穷数列{a_n}满足a_n+1=p•a_n+
q
an
（n∈N^*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．
（1）若p=
1
2
，q=2，且a₃=
41
20
，求a₁的值；
（2）若a₁=5，p•q=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁=2，q=1，且{a_n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮
4．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=
2an
2+an
（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（1）中的猜想，用三段论证明数列{
1
an
}是等差数列．

难度：较易

解析收藏试题篮
5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，且对任意的正整数n，都有S_n+1=λS_n+3ⁿ⁺¹，其中常数λ＞0．设b_n=
an
3n
（n∈N^*）﹒
（1）若λ=3，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，设c_n=a_n+
2
λ-3
×3n（n∈N^*），证明数列{c_n}是等比数列；
（3）若对任意的正整数n，都有b_n≤3，求实数λ的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．已知在递增等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃是a₁和a₉的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=
1
(n+1)an
，S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数m，使得S_n＜m对于任意的n∈N₊恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由．

难度：中等

解析收藏试题篮
7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a_n≠0，a_na_n+1=pS_n+2，其中p为常数．
（1）证明：a_n+2-a_n=p；
（2）是否存在p，使得|a_n|为等差数列？并说明理由．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
4
15
•（-2） an（n∈N^*），对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列．

难度：中等

解析收藏试题篮
9．已知数列{a_n}，首项为a₁=λ（λ∈R），前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若λ=0，求数列{a_n•ln（a_n+1）}的前n项和T_n．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．已知数列{a_n}中，a₁=5，且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）证明：数列{
an-1
2n
}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷