知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意正整数n，都有a_n=
3
4
Sn+2．
（1）设b_n=log₂a_n，求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）在（1）的条件下，设c_n=（-1）ⁿ⁺¹
n+1
bnbn+1
，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：
1
21
≤T_n≤
2
15
．

难度：中等

解析收藏试题篮
2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，向量
a
=（S_n，1），
b
=（2ⁿ-1，
1
2
），满足条件
a
∥
b
，
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）设函数f（x）=（
1
2
）^x，数列{b_n}满足条件b₁=1，f（b_n+1）=
1
f(-bn-1)
．
①求数列{b_n}的通项公式，
②设c_n=
bn
an
，求数列{c_n}的前n项和T_n．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．已知无穷数列{a_n}满足a_n+1=p•a_n+
q
an
（n∈N^*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．
（1）若p=
1
2
，q=2，且a₃=
41
20
，求a₁的值；
（2）若a₁=5，p•q=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁=2，q=1，且{a_n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮
4．已知数列{a_n}、{b_n}满足：a_n+1=a_n+1，b_n+1=b_n+
1
2
an，c_n=an2-4b_n，n∈N^*：
（1）若a₁=1，b₁=0，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式：
（2）证明：数列{c_n}是等差数列：
（3）定义f_n（x）=x²+a_nx+b_n，证明：若存在K∈N^*，使得a_k、b_k为整数，且f_k（x）有两个整数零点，则必有无穷多个f_n（x）有两个整数零点：

难度：中等

解析收藏试题篮
5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，且对任意的正整数n，都有S_n+1=λS_n+3ⁿ⁺¹，其中常数λ＞0．设b_n=
an
3n
（n∈N^*）﹒
（1）若λ=3，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，设c_n=a_n+
2
λ-3
×3n（n∈N^*），证明数列{c_n}是等比数列；
（3）若对任意的正整数n，都有b_n≤3，求实数λ的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．已知数列{a_n}为正项等差数列，满足
1
a1
+
4
a2k-1
≤1（其中k∈N^*，且k≥2），则a_k的最小值为．

难度：中等

解析收藏试题篮
7．已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a_n²-na_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜测a_n与n+2的关系，并用数学归纳法证明．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．若数列{a_n}的首项为1，且2a_n+1-a_n=2，
（1）求证：{a_n-2}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=-n（a_n-2），求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜4．

难度：中等

解析收藏试题篮
9．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=
an
2an+1
（n∈N）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n≥2，n∈N时，不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞
12
35
（log₃m-log₂m+1）恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．已知数列{a_n}中，a₁=5，且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）证明：数列{
an-1
2n
}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷