知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，有一个以 $F_%7B1%7D%280%EF%BC%8C-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 和 $F_%7B2%7D%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 为焦点、离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ） $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%7C$ 的最小值．

难度：较易

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2．已知椭圆c： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D$ =1（a＞ $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ）的右焦点F在圆D：（x-2）²+y²=1上，直线l：x=my+3（m≠0交椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ （O为坐标原点），求m的值；
（Ⅲ）设点N关于x轴的对称点为N₁（N₁与点M不重合），且直线N₁M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3． P（x₀，y₀）是双曲线E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）上一点，M，N分别是双曲线E关于原点对称的两点且两者的横坐标不与|x₀|相等．
（1）求证：直线PM，PN的斜率之积为为定值，并写出这个定值；　
（2）若直线PM，PN的斜率之积为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B5%7D$ ，求双曲线的离心率；
（3）在问题（2）的假定下，过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ =λ $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ，求λ的值．

难度：中等

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4．已知点A、B的坐标分别是（0，-1）、（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（0，2）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F，试求△OEF面积的取值范围（O为坐标原点）．

难度：较难

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5．已知O为坐标原点，F为椭圆C： $x%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D1$ 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为- $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7B0%7D$ ．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

难度：较难

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6．已知直线y=-x+1与椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 相交于A、B两点，O为坐标原点，M为AB的中点．
(I)求证：直线AB与OM斜率的乘积等于e²-1(e为椭圆的离心率)；
(II)若 $2%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%7C%3D%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%7C%5Ctext%7B%E4%B8%94%7De%5Cin%20%280%2C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ 时，求a的取值范围．

难度：难

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7．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%3Eb%3E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，a= $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线x-my+1=0与椭圆C相交于A、B两点．
①若点M(- $%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B3%7D$ ，0)，求证： $%20%5Coverrightarrow%20%7BMA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BMB%7D$ 为定值；
②求三角形OAB面积的最大值(O为坐标原点)．

难度：难

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8．已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为(-1，0)，(1，0)．
(Ⅰ)求顶点C的轨迹W的方程；
(Ⅱ)线段CA的延长线交顶点C的轨迹W于点D，当 $%7CCB%7C%3D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ 且点C在x轴上方时，求线段CD垂直平分线l的方程．

难度：中等

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9．已知圆 $M%3A%28x%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%29%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3D36$ ，定点 $N%28%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2C0%29$ ，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BNP%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7BNQ%7D%2C%20%5Coverrightarrow%20%7BGQ%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BNP%7D%3D0$ ．
(I)求点G的轨迹C的方程；
(II)过点(2，0)作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOS%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

难度：较难

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10．已知双曲线x²-y²=2
(1)求以M(3，1)为中点的弦所在的直线的方程
(2)求过M(3，1)的弦的中点的轨迹方程．

难度：中等

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