知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知离心率为
1
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点A（2，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且S_△AMN=
6
2
7
，求直线l的一般方程．

难度：中等

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点(
2
， 0)和（0，1），其右焦点为F．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，若
AF
=3
FB
，求|
OA
+
OB
|的值（其中O为坐标原点）．

难度：中等

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3．已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于
2
5
5
，且过点（1，
2
5
5
）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若
MA
=λ₁
AF
，
MB
=λ₂
BF
，求证：λ₁+λ₂为定值．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，右焦点为（
2
，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点，求证：点O到直线AB的距离为定值；
（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的最大值．

难度：中等

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5．设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，点F到直线3x+4y+1=0的距离为1．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：x-my+2=0，求直线l与抛物线C恰有一个公共点，两个公共点时实数m的取值范围．

难度：较难

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6．已知椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F₁，F₂，点D在椭圆上，DF₂⊥F₁F₂，△F₁F₂D的面积为2
2
，离心率e=
2
2
，抛物线C：x²=2py（p＞0）的准线l经过D点．
（Ⅰ）求椭圆E与抛物线C的方程；
（Ⅱ）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．

难度：较难

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7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆
x2
8
+
y2
4
=1上一点A（2，
2
），点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线l交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，k_AB+k_AC= ．

难度：较易

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8．如图所示，在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，点B（0，-b）是椭圆C的下顶点，BF₁的延长线交椭圆C于点A，点D和点A关于x轴对称．
（1）若BF₁=2，点D（-
8
3
7
，-
1
7
），求椭圆的标准方程；
（2）若
DF2
•
BA
=0，求椭圆C的离心率e．

难度：中等

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9．过异于原点的点P（x₀，y₀）引椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的割线PAB，其中点A．B在椭圆上，点M是割线PAB上异于P的一点，且满足
AM
MB
=
AP
PB
．
求证：点M在直线
x0x
a2
+
y0y
b2
=1上．

难度：中等

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10．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦点为F（c，0）且a＞b＞c＞0．设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为
3
2
，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|
GF
|+|
CF
|=4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得
OP2
=4
PA
•
PB
成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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