知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，设四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=
2
a点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（1）求证：对任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若cosθ=sinφ，求λ的值．

难度：较难

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2．

如图，在60°二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=4，AC=6，BD=8，则线段CD的长为（　　）

A．

B．10

C．2

D．2

难度：较难

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3．过原点的直线交双曲线x²-y²=4

于P，Q两点，现将坐标平面沿直线y=-x折成直二面角，则折后PQ长度的最小值等于（　　）

A．2

B．4

C．4

D．3

难度：较难

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4．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=
3
，点E在棱AB上．
（1）求异面直线D₁C与A₁D所成的角的余弦值；
（2）当二面角D₁-EC-D的大小为45°时，求点B到面D₁EC的距离．

难度：中等

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5．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2BB₁，沿平面C₁BD把这个长方体截成两个几何体：
（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V₁、V₂，求V₁与V₂的比值；
（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

难度：中等

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6．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=2，AD=3，CD=1，点E、F分别在AD、BC上，满足AE=
1
3
AD，BF=
1
3
BC．现将此梯形沿EF折叠成如图所示图形，且使AD=
3
．
（1）求证：AE⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-CE-A的大小．

难度：较难

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7．如图，在直四棱ABCD-A₁B₁C₁D₁中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°，AA₁=2
3
，P、Q分别是棱A₁D₁和AD的中点，R为PB的中点．
（Ⅰ）求证：QR⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角R-QC-B的余弦值．

难度：中等

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8．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=AA₁=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B-C₁D-C的正切值；
（3）设AB₁的中点为G，问：在矩形BCC₁B₁内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC₁．若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．

难度：较难

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9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，AB=
2
，BC=
3
，AA₁=
2
．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥B₁C；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁C-B的大小．

难度：中等

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10．如图，在正四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，DC=DA=2，DD₁=4，点E在C₁C上，且CE=1．
（1）求异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值；
（2）求证：A₁C⊥平面DBE；
（3）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

难度：中等

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