如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(AD/\!/BC\)，\(AD⊥CD\)，且\(AD=CD=2 \sqrt{2} \)，\(BC=4 \sqrt{2} \)，\(PA=2\)，点\(M\)在\(PD\)上．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(AB⊥PC\)；

\((\)Ⅱ\()\)若二面角\(M-AC-D\)的大小为\(45^{\circ}\)，求\(BM\)与平面\(PAC\)所成角的正弦值．

\((1)m⊂α \)，\(n{⊂}\alpha\)，\(m{/\!/}\beta\)，\(n{/\!/}\beta{⇒}\alpha{/\!/}\beta\) \((2)n{/\!/}m\)，\(n{⊥}\alpha{⇒}m{⊥}\alpha(3)\alpha{/\!/}\beta\)，\(m{⊂}\alpha\)，\(n{⊂}\beta{⇒}m{/\!/}n\)        \((4)m{⊥}\alpha\)，\(m{⊥}n{⇒}n{/\!/}\alpha\)

    \((1)EF/\!/\)平面\(PAD\)；

    \((2)PA/\!/\)平面\(EFG\)；

    \((3)\)平面\(EFG/\!/\)平面\(PAD\)．

如图，在四棱锥\(E-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为直角梯形，其中\(CD/\!/AB,BC\bot AB\)，侧面\(ABE\bot \)平面\(ABCD\)，\(AB=AE=BE=2BC=2CD=2\)，动点\(F\)在棱\(AE\)上，且\(EF=\lambda FA.(1)\)试探究\(\lambda \)的值，使\(CE/\!/\)平面\(BDF\)，并给予证明；\((2)\)当\(\lambda =1\)时，求直线\(CE\)与平面\(BDF\)所成的角的正弦值．

在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，点\(E\)在棱\(PC\)上\((\)异于点\(P\)，\(C)\)，平面\(ABE\)与棱\(PD\)交于点\(F\)．

\((1)\)求证：\(AB/\!/EF\)；

\((2)\)若平面\(PAD⊥\)平面\(ABCD\)，求证：\(AF⊥EF\)．

如图，矩形\(AB′DE(AE=6,DE=5)\)被截去一角\((\)即\(\triangle BB′C)\)，\(AB=3\)，\(∠ABC=135^{\circ}\)，平面\(PAE⊥\)平面\(ABCDE\)，\(PA+PE=10\)．

\((\)Ⅰ\()\)求五棱锥\(P-ABCDE\)的体积的最大值；

\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)的情况下，证明：\(BC⊥PB\)．

如图，边长为\(\sqrt{2}\)的正方形\(ADEF\)与梯形\(ABCD\)所在的平面互相垂直，其中\(AB/\!/CD\)，\(AB\bot BC\)，\(CD=BC=\dfrac{1}{2}AB=1\)，\(AE\bigcap DF=O\)，\(M\)为\(EC\)的中点．

\((\)Ⅰ\()\)证明：\(OM/\!/\)平面\(ABCD\)；

\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(D-AB-E\)的正切值；

\((\)Ⅲ\()\)求\(BF\)与平面\(ADEF\)所成角的余弦值．