知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为线段AD的中点．
（1）求直线MF与直线BD所成角的余弦值；
（2）若平面ABF与平面DBF所成角为θ，且tanθ=2
2
，求线段AB的长．

难度：中等

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2．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．

（1）求证：M、N、P、Q四点共面；
（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求异面直线BE与MQ所成的角．

难度：中等

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3．已知四棱锥P-GBCD中（如图），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=
3
4
BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4．
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且
DF
•
GC
=0，
PF
=k
CF
，求k的值．

难度：中等

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4．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上．
（1）求异面直线D₁E与A₁D所成的角；
（2）若二面角D₁-EC-D的大小为45°，求直线BC₁与面D₁EC所成的角的正切．．

难度：中等

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5．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=
3
，点E在棱AB上．
（1）求异面直线D₁C与A₁D所成的角的余弦值；
（2）当二面角D₁-EC-D的大小为45°时，求点B到面D₁EC的距离．

难度：中等

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6．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁D₁和CC₁的中点
（1）求证：EF∥平面A₁C₁B；
（2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=
2
AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且
PE
ED
=
BF
FA
=λ(λ＞0)．
（Ⅰ）当λ=1时，证明DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成的角为60°？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB=1，AD=CD=2，E在线段PD上．
（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P-ABCD的侧视图的面积．

难度：中等

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9．如图所示，在直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=
π
2
，OA=OS=AB=1，OC=2，点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3．
（1）求异面直线MN与BC所成的角；
（2）求MN与面SAB所成的角．

难度：中等

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10．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，C到AB的距离大于1，AA₁=AB=2，D为BB₁的中点，E为AB₁上的一点，AE=3EB₁．
（1）求证：CD⊥DE；
（2）设二面角A₁-AC₁-B₁的正切值为
14
，求异面直线AB₁与CD的夹角的大小．

难度：中等

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