知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形．
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）若PA=AD=2a，MN与PA所成的角为30°．求MN的长．

难度：中等

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2．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD=
π
3
，AD=2，DE=
3
．
（Ⅰ）异面直线AE与DC所成的角余弦值；
（Ⅱ）求证平面AEF⊥平面CEF；
（Ⅲ）在线段AB取一点N，当二面角N-EF-C的大小为60°时，求|AN|．

难度：中等

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3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．

难度：中等

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4．（2016•山东模拟）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=
π
2
，AD=
3
，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）若BE=
3
-1，且
AB
BE
=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为60⁰？

难度：中等

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5．如图所示，在直二面角E-AB-C中，四边形ABEF是矩形，AB=2，AF=2
3
，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF=3．
（1）证明：FB⊥平面PAC；
（2）求异面直线PC与AB所成的角的余弦值．

难度：中等

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6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成角的余弦值．
（2）在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出|AF|，若不存在，说明理由．

难度：较难

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7．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO．
（1）求证PO⊥AC；
（2）求异面直线PA与OE所成角的大小．

难度：中等

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8．如图，设正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是AD和CC₁的中点．
（1）求证：A₁E⊥BF；
（2）求异面直线A₁E与CD₁所成角的余弦值．

难度：中等

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9．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，直线B₁C与底面ABC成30°角
（1）求证：A₁C₁∥截面AB₁C；
（2）求点A₁到截面AB₁C的距离；
（3）设点E为CC₁中点，求异面直线AE与BC₁所成角的大小．

难度：中等

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10．正方体中，E，F，G分别是A′D′、B′C′、D′C′的中点．
（1）求直线BA′和CC′所成的角的大小；
（2）求直线EG和BD′所成的角的大小；
（3）证明：四边形ABFE为平行四边形．

难度：较易

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