知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
．
（1）求AC₁的长；
（2）求BD₁与AC所成角的余弦值．

难度：中等

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2．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；
（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．

难度：中等

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3．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点M，N分别为A₁A和B₁B的中点．
（Ⅰ）求异面直线CM与D₁N所成角的余弦值；
（Ⅱ）求点D₁到平面MDC的距离．

难度：较难

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4．如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的点，且CE=1．
（1）求证BE⊥B₁C；
（2）求直线A₁B与直线B₁C所成角的正弦值．

难度：中等

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5．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，原点O是BC的中点，A点坐标为(
3
2
，
1
2
，0)，D点在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（Ⅰ）求D点坐标；
（Ⅱ）求cos＜
AD，
BC
＞的值．

难度：中等

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6．如图，在等腰△ABC中，∠A=90°，BC=
2
，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

难度：中等

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7．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是B₁C₁的中点，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，连接AO，CE，求异面直线AO与CE所成的角的余弦．

难度：较难

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8．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．应用空间向量方法求：
（1）求A₁B和B₁C的夹角
（2）求证：A₁B⊥AC₁．

难度：中等

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9．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E为BB₁中点，平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延长线于G．
（1）求证：CC₁∥平面FGD₁；
（2）求异面直线BD与AF所成的角的大小．

难度：较难

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10．已知在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=3，M，N分别是棱BB₁，BC上的点，且BM=2，BN=1，建立如图所示的空间直角坐标系．求：
（1）异面直线DM与AN所成角的余弦值；
（2）直线DM与平面AMN所成角的正弦值．

难度：中等

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