知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为
π
6
．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

难度：中等

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2．如图所示，已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求0E与BF所成角的余弦值．

难度：中等

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3．在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M，N是棱A₁B₁ ， B₁B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．

难度：中等

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4．在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a(0＜a＜
2
)．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中θ∈(0，
π
2
]
（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90⁰且a=
2
2
．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

难度：中等

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5．已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小；
（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由．

难度：中等

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6．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．
（1）哪些棱所在直线与直线AB₁是异面直线？
（2）求异面直线DB₁与CB所成角的余弦值
（3）求证：C₁O∥平面AB₁D₁．

难度：较难

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7．如图，四边形ABCD为正方形，BE⊥平面ABCD，EB∥FA，FA=AB=
1
2
EB．
（I）证明：平面AFD⊥平面AFB；
（II）求异面直线ED与CF所成角的余弦值；
（III）求直线EC与平面BCF所成角的正弦值．

难度：中等

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8．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E在线段BD上，点F在线段B₁C上．
（Ⅰ）若E、F分别为线段BD，B₁C的中点，求直线EF与直线C₁D₁所成的角；
（Ⅱ）若EF⊥BD，EF⊥B₁C，求线段EF的长度．

难度：中等

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9．一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N、P、Q分别是FC、AF、DC、AD的中点）
（1）直线DE与直线BF的位置关系是什么、夹角大小为多少？
（2）判断并证明直线MN与直线PQ的位置关系；
（3）求三棱锥D-ABF的体积．

难度：较易

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10．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）求AC与A₁D所成角的大小；
（2）平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（3）A₁C⊥平面BDC₁．

难度：中等

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