知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•连云港模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
（1）求证：PB∥平面MNC；
（2）若Ac=BC，求证：PA⊥平面MNC．

难度：中等

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2．（2016•嘉兴一模）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角C-AE-D的余弦值的大小．

难度：中等

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3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA₁=2
3
，D、E分别为AA₁、BC₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求BC与平面BC₁D所成角；
（3）求三棱锥C-BC₁D的体积．

难度：中等

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4．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=
π
2
，AB=BC=
1
2
AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△A₁BE的位置，得到四棱锥A₁-BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）当平面A₁BE⊥平面BCDE时，四棱锥A₁-BCDE的体积为36
2
，求点E到平面A₁CD的距离h的值．

难度：中等

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5．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求三棱锥E-ABD的体积．

难度：中等

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6．已知在空间四边形ABCD中，AB=AC，DB=DC，点E为BC的中点，求证：BC⊥平面AED．

难度：较易

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7．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB=4，AB∥CD，∠BCD=90°，M为棱PA的中点．
（I）证明：平面BDM⊥平面PAD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一点N，使得直线BN与平面BDM所成角为30°？若存在，求出CN长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图所示，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，AA₁=2，D是AC的中点，AB⊥平面B₁C₁CB，∠BCC₁=60°．
（1）求证：AC⊥平面BDC₁；
（2）线段CC₁上是否存在动点E使得二面角B₁-BE一A₁的大小为45°？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

难度：较难

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9．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB．已知BC=2AD=2AB=2．
（I）证明：BD⊥平面DEC；
（Ⅱ）若EC=1，求AD与面BED所成角的正弦值．

难度：中等

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10．已知四棱锥P一ABCD，如图所示，其中平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=BC=AC=4，线段AC被线段BD平分．
（I）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ACD=30°，求二面角A-PC-B的余弦值．

难度：中等

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