知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
有$7$位歌手$(1$至$7$号$)$参加一场歌唱比赛，由$500$名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为$5$组，各组的人数如下：

组别 $A$ $B$ $C$ $D$ $E$

人数 $50$ $100$ $150$ $150$ $50$

$($Ⅰ$)$ 为了调查评委对$7$位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从$B$组中抽取了$6$人$.$请将其余各组抽取的人数填入下表．

组别 $A$ $B$ $C$ $D$ $E$

人数 $50$ $100$ $150$ $150$ $50$

抽取人数 $6$

$($Ⅱ$)$ 在$($Ⅰ$)$中，若$A$，$B$两组被抽到的评委中各有$2$人支持$1$号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选$1$人，求这$2$人都支持$1$号歌手的概率．

难度：较易

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2．
某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了$140$辆纯电动汽车作为运营车辆$.$目前我国主流纯电动汽车按续航里程数$R($单位：公里$)$分为$3$类，即$A$类：$80\leqslant R < 150$，$B$类：$150\leqslant R < 250$，$C$类：$R\geqslant 250.$该公司对这$140$辆车的行驶总里程进行统计，结果如表：

类型 $A$类 $B$类 $C$类

已行驶总里程不超过$10$万公里的车辆数 $10$ $40$ $30$

已行驶总里程超过$10$万公里的车辆数 $20$ $20$ $20$

$($Ⅰ$)$从这$140$辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过$10$万公里的概率；
$($Ⅱ$)$公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取$14$辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从$C$类车中抽取了$n$辆车．
$(ⅰ)$求$n$的值；
$(ⅱ)$如果从这$n$辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过$10$万公里的概率．

难度：易

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3．
从某小区随机抽取$40$个家庭，收集了这$40$个家庭去年的月均用水量$($单位：吨$)$的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图．

分组频数

$[2,4)$ $2$

$[4,6)$ $10$

$[6,8)$ $16$

$[8,10)$ $8$

$[10,12]$ $4$

合计 $40$

$(1)$求频率分布直方图中$a$，$b$的值；
$(2)$从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于$6$吨的概率；
$(3)$在这$40$个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于$6$吨的家庭里抽取一个容量为$7$的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取$2$个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于$8$吨的概率．

难度：较难

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4．
为预防$H_{1}N_{1}$病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性$($若疫苗有效的概率小于$90\%$，则认为测试没有通过$)$，公司选定$2000$个流感样本分成三组，测试结果如下表：

分组 $A$组 $B$组 $C$组

疫苗有效 $673$ $a$ $b$

疫苗无效 $77$ $90$ $c$

已知在全体样本中随机抽取$1$个，抽到$B$组疫苗有效的概率是$0.33$．
$($Ⅰ$)$现用分层抽样的方法在全体样本中抽取$360$个测试结果，问应在$C$组抽取样本多少个？
$($Ⅱ$)$已知$b\geqslant 465$，$c\geqslant 30$，求通过测试的概率．

难度：较易

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5．
微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人$($被称为微商$).$为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各$50$ 名，其中每天玩微信超过$6$ 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

微信控

非微信控

合计

男性

$26$

$24$

$50$

女性

$30$

$20$

$50$

合计

$56$

$44$

$100$

$(1)$根据以上数据，能否有$60\%$的把握认为“微信控”与”性别“有关？
$(2)$现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出$5$ 人并从选出的$5$人中再随机抽取$3$人赠送$200$ 元的护肤品套装，记这$3$人中“微信控”的人数为$X$，试求$X$ 的分布列与数学期望．
参考公式：${K}^{2}= \dfrac{n{\left(ad-bc\right)}^{2}}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)} $，其中 $n$$=$ $a$$+$ $b$$+$ $c$$+$ $d$．

难度：难

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6．
为预防$X$病毒爆发，某生物技术公司研制出一种$X$病毒疫苗，为测试该疫苗的有效性$($若疫苗有效的概率小于$90\%$，则认为测试没有通过$)$，公司选定$2000$个样本分成三组，测试结果如下表：

分组

$A$组

$B$组

$C$组

疫苗有效

$673$

$a$

$b$

疫苗无效

$77$

$90$

$c$

已知在全体样本中随机抽取$1$个，抽到$B$组疫苗有效的概率是$0.33$．

$(1)$现用分层抽样的方法在全体样本中抽取$360$个测试结果，应在$C$组抽取样本多少个$?$

$(2)$已知$b\geqslant 465$，$c\geqslant 30$，求通过测试的概率．

难度：较难

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7．
共享单车的出现方便了人们的出行，深受我市居民的喜爱$.$为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校$8000$名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了$100$位同学进行调查，得到这$100$名同学每周使用共享单车的时间$($单位：小时$)$如表：

$($Ⅰ$)$已知该校大一学生有$2400$人，求抽取的$100$名学生中大一学生人数；
$($Ⅱ$)$作出这些数据的频率分布直方图；

$($Ⅲ$)$估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间$\overline{t}($同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表$)$．

难度：中等

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8．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
患心肺疾病不患心肺疾病合计
男 20 5 25
女 10 15 25
合计 30 20 50
（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？
（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；
（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K²，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式 $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d）

难度：较易

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9．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．
（Ⅰ）求x，y的值；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．

难度：中等

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10．某中学一、二、三年级分别有普法志愿者36人、72人、54人，用分层抽样的方法从这三个年级抽取一个样本，已知样本中三年级志愿者有3人．
（I）分别求出样本中一、二年级志愿者的人数；
（Ⅱ）用A_i（i=1，2…）表示样本中一年级的志愿者，a_i（i=1，2，…）表示样本中二年级的志愿者，现从样本中一、二年级的所有志愿者中随机抽取2人，①用以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况，②抽取的二人在同一年级的概率．

难度：较易

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组别	\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)	\(E\)
人数	\(50\)	\(100\)	\(150\)	\(150\)	\(50\)

组别	\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)	\(E\)
人数	\(50\)	\(100\)	\(150\)	\(150\)	\(50\)
抽取人数		\(6\)

类型	\(A\)类	\(B\)类	\(C\)类
已行驶总里程不超过\(10\)万公里的车辆数	\(10\)	\(40\)	\(30\)
已行驶总里程超过\(10\)万公里的车辆数	\(20\)	\(20\)	\(20\)

分组	频数
\([2,4)\)	\(2\)
\([4,6)\)	\(10\)
\([6,8)\)	\(16\)
\([8,10)\)	\(8\)
\([10,12]\)	\(4\)
合计	\(40\)

分组	\(A\)组	\(B\)组	\(C\)组
疫苗有效	\(673\)	\(a\)	\(b\)
疫苗无效	\(77\)	\(90\)	\(c\)

	微信控	非微信控	合计
男性	\(26\)	\(24\)	\(50\)
女性	\(30\)	\(20\)	\(50\)
合计	\(56\)	\(44\)	\(100\)

分组	\(A\)组	\(B\)组	\(C\)组
疫苗有效	\(673\)	\(a\)	\(b\)
疫苗无效	\(77\)	\(90\)	\(c\)

	患心肺疾病	不患心肺疾病	合计
男	20	5	25
女	10	15	25
合计	30	20	50

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828