知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．设m个正数a₁，a₂，…，a_m（m≥4，m∈N^*）依次围成一个圆圈．其中a₁，a₂，a₃，…，a_k-1，a_k（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a₁，a_m，a_m-1，…，a_k+1，a_k是公比为q的等比数列．
（1）若a₁=d=1，q=2，k=8，求数列a₁，a₂，…，a_m的所有项的和S_m；
（2）若a₁=d=q=3，m＜2015，求m的最大值；
（3）当q=2时是否存在正整数k，满足a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=3（a_k+1+a_k+2+…+a_m-1+a_m）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．下列数列中，构成等比数列的是（　　）

A．2，3，4，5

B．1，-2，-4，8

C．0，1，2，4

D．16，-8，4，-2

难度：较易

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4．若数列{a_n}中，a₁=
1
3
，a_n+1=
n+1
3n
a_n
（Ⅰ）证明：{
an
n
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜
3
4
．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}满足a1=
7
6
，an+1=
1
2
an+
1
3
，
（1）当an≠
2
3
时，求证{an-
2
3
}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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6．数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-
1
2
n²-
3
2
n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{（2n-3）b_n}的前n项和T_n，并证明T_n∈[-
1
2
，1)．

难度：较难

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7．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．
①若A，B为互斥事件，则P（A）+P（B）≤1；②若b²=ac，则a，b，c成等比数列；
③经过两个不同的点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的直线都可以用方程（y-y₁）（x₂-x₁）=（x-x₁）（y₂-y₁）来表示；
④若函数f（x）对一切x∈R满足：|f（x）=|f（-x）||，则函数f（x）为奇函数或偶函数；
⑤若函数f（x）=|log₂x|-（
1
2
）^x有两个不同的零点x₁，x₂，则x₁•x₂＜1．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求证：{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=
2
(lgan)(lgan+1)
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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9．设数列{a_n}的前n项和为S_n．且a₁+2a₂3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：数列{S_n+2}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=
an+1
2
-2^n-1，已知a₁=t，则下列说法正确的是
①数列{S_n+2ⁿ}是等比数列；
②当t≠-2时，数列{a_n}的通项公式a_n=2（t+2）•3^n-2-2^n-1；
③若a_n+1≤a_n成立，则t的范围是t≤-
3
2
；
④若a_n+1≥a_n，则t的最小值是-2．

难度：较易

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