知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的一点，且
PF1
•
PF2
=0，求△F₁PF₂的面积．

难度：中等

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2．命题p：方程
x2
m-9
+
y2
25-m
=1表示椭圆；命题q：关于x的不等式|x+3|+|x-4|＜m有解．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点（1，
3
2
），离心率为
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，
1
3
），若cos∠APB=-
1
3
，求直线l的方程．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（{a＞b＞0}）的离心率e=
2
2
，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（-1，-2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂．试问k₁+k₂ 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．

难度：较难

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5．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为
2
5
5
，该椭圆的离心率为
3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点P(0，
5
3
)的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，有
PM
=2
PN
成立？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA、EB，切点为A、B．直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．

难度：较难

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7．已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，O为原点，设椭圆的方程为（a＞b＞0），篮球与地面的接触点为H，则|OH|= ．

难度：中等

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8．在直角坐标系xOy中，已知圆C过点A（0，0）和B（0，4）且与直线x+y-4=0相切，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1与圆C的一个焦点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探究：圆C上是否存在异于原点的点Q，使得点Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线L和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

难度：较易

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10．已知椭圆M的中心原点O，点F（-1，0）是它的一个焦点，直线L过点F与椭圆M交于P、Q两点，当直线L的斜率不存在时，
OP
•
OQ
=
1
2
．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设A、B、C是椭圆M上的不同三点，且
OA
+
OB
+
OC
=0，证明直线AB与OC的斜率之积为定值．

难度：中等

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