知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别F₁，F₂，点P(-1，
3
2
)是椭圆C的一点，满足
PF 1
•
PF2
=
9
4
．
（I）求椭圆C的方程．
（II）已知O为坐标原点，设A、B是椭圆E上两个动点，
PA
+
PB
=λ
PO
(0＜λ＜4，λ≠2)．求证：直线AB的斜率为定值．

难度：中等

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2．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离比是
2
2
．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设过点Q（
2
3
，0）的直线l与曲线C交于点M，N，求证：点A（
2
，0）在以MN为直经的圆上．

难度：中等

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3．（2016•闵行区二模）已知椭圆Г：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点；
（1）求椭圆Г的方程；
（2）设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：
1
OA2
+
1
OB2
为定值；
（3）设点C在椭圆Г上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD的距离为常数
3
，求动点D的轨迹方程．

难度：中等

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4．已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于
2
5
5
，且过点（1，
2
5
5
）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若
MA
=λ₁
AF
，
MB
=λ₂
BF
，求证：λ₁+λ₂为定值．

难度：中等

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5．已知椭圆E：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0），离心率为
2
2
，且过点A（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）若椭圆E的任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上．

难度：较难

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6．已知抛物线：y²=2px，直线AB，CD过焦点F，与抛物线交于A，B，C，D，且AB⊥CD，∠AOB=90°．求证：
1
FA•
FB
+
1
FC
•
FD
为定值．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ax+b（a≠0，a≠1）且y₁=f（f（x））与y₂=f（x）有交点P，求证：P点一定在曲线y=f（f（f（x）））上．

难度：中等

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8．椭圆焦点在x轴，离心率为
3
2
，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

难度：中等

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9．设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1两焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求证：tan
α
2
•cot
β
2
=
c-a
c+a
．

难度：较难

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10．设P是双曲线
x2
4
-
y2
12
=1右分支上任意一点，F₁，F₂分别为左、右焦点，设∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β（如图），求证3tan
α
2
=tan
β
2
．

难度：较难

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