知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图：A，B，C是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，原点O到直线CF的距离为
1
2
c，且椭圆过点(2
3
，1)．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k₁，问是否存在实数λ，使得λk1=k+
1
2
成立，若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，若点M（-2，y）在抛物线上，且点M到该抛物线焦点的距离为3，
（1）求抛物线的标准方程及点M的坐标．
（2）过点C（-3，
1
2
）做直线l，使得直线l与抛物线相交于A，B两点．恰好C为弦AB的中点，求直线l的方程．

难度：中等

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3．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
3
2
的椭圆C过点(
2
，
2
2
)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设B为椭圆的上顶点，P、Q为椭圆C上异于点B的任意两点．
（ⅰ）设P、Q两点的连线不经过原点，且直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围；
（ⅱ）当BP⊥BQ时，若点B在线段PQ上的射影为点M，求点M的轨迹方程．

难度：中等

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4．离心率为
5
5
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于相异两点M，N，且
OM
•
ON
=-
31
9
，求直线l的方程．

难度：中等

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5．已知点P是圆C：（x+
3
）²+y²=16上任意一点，A（
3
，0）是圆C内一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP交于点Q，O为坐标原点．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（2）设过点B（0，-2）的动直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求此时直线的方程．

难度：较难

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6．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点P(2，
3
)，且它的离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）与圆（x-1）²+y²=1相切的直线l：y=kx+t（k∈R，t∈R）交椭圆E于M、N两点，若椭圆E上一点C满足
OM
+
ON
=λ
OC
（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

难度：较难

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7．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于-
1
4
．
（1）求顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）若斜率为1的直线l与顶点C的轨迹交于M，N两点，且|MN|=
8
2
5
，求直线l的方程．

难度：中等

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（1，
3
2
），且离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点P(
1
5
，0)，求k的取值范围．

难度：较难

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9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，且过点A（-4，3）．
（1）若F₁A⊥F₂A，求椭圆的标准方程．
（2）在（1）的条件下，若点P为椭圆上一点，且满足∠F₁PF₂=120°，求△PF₁F₂的面积．

难度：中等

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10．曲线C上任一点到定点F（1，0）的距离比到定直线x=-2的距离小1．A（x₁，y₁），B（y₂，y₂）为曲线C上任意一点，且x₁+x₂=2，线段AB的垂直平分线交x轴于点P
（1）求曲线C的轨迹方程及点P的坐标；
（2）是否存在过点F的直线l，使得它与曲线C交于M，N两点，且△PMN面积为8，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：中等

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