知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的极坐标方程为ρcos(θ+
π
4
)=2
2
．
（1）求曲线C₁的参数方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）记曲线C₁与曲线C₂交于M，N两点，求线段 MN的长度．

难度：较易

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2．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
，F₁、F₂为其左右焦点，点P在C上，且
PF2
•
F1F2
=0，
PF1
•
PF2
=2，O是坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F₂的直线l与双曲线C交于A，B两点，求
F1A
•
F1B
的取值范围．

难度：较难

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3．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的左右焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2
5
，点P为椭圆短轴的端点，且△PF₁F₂的面积为2
5
}．
（1）求椭圆的方程；
（2）点Q是椭圆上任意一点，A（4
5
，6），求|QA|-|QF₁|的最小值；
（3）点B(1，
4
2
3
)是椭圆上的一定点，B₁，B₂是椭圆上的两动点，且直线BB₁，BB₂关于直线x=1对称，试证明直线B₁B₂的斜率为定值．

难度：中等

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4．（2015秋•朔州校级期中）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．
（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；
（2）求该公园的最大面积．

难度：中等

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5．椭圆E：
x2
4
+
y2
3
=1内有一点P（1，1）．
（1）求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程；
（2）如果直线l：x=my+4与椭圆E相交于A、B两点，求
OA
•
OB
的取值范围．

难度：中等

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6．（2015秋•大庆校级期中）如图所示，曲线C由部分椭圆C₁：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C₂：y=-x²+1（y≤0）连接而成，C₁与C₂的公共点为A，B，其中C₁所在椭圆的离心率为
2
2
，
（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C₁，C₂分别交于点P，Q（P，Q，A，B中任意两点均不重合），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

难度：较难

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7．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点处，当此彗星离地球为d万千米时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，求这颗彗星与地球的最短距离．

难度：中等

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8．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M（4，1），N（2，2）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=
16
3
5
，求直线l的方程．

难度：中等

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9．已知圆C₁：x²+y²=r²与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）于x轴的交点重合，且椭圆C₂的离心率为
2
2
，圆C₁上的点到直线l：x=-2
2
的最短距离为2
2
-2．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）如图过直线1上的动点T作圆C₁的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与椭圆C₂交于不同的两点C、D，求△OCD面积的最大值．

难度：中等

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10．一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m．
（1）试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
（2）为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时星波束反射聚集点的坐标．

难度：较易

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