知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x=3cosα
y=sinα
（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ-
π
4
)=
2
．
（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；
（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

难度：中等

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2．已知椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l₁和l₂分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．
（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；
（2）若直线l₁和l₂关于y轴对称，Γ上任意一点P到l₁和l₂的距离分别为d₁和d₂，当d₁²+d₂²为定值时，求此时直线l₁和l₂的斜率及该定值．
（3）当ACBD为菱形，且圆x²+y²=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．

难度：中等

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3．已知参数方程为
x=x0+tcosθ
y=tsinθ
（t为参数）的直线l经过椭圆
x2
3
+y2=1的左焦点F₁，且交y轴正半轴于点C，与椭圆交于两点A、B（点A位于点C上方）．
（I）求点C对应的参数t_C（用θ表示）；
（Ⅱ）若|F₁B|=|AC|，求直线l的倾斜角θ的值．

难度：中等

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4．已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

难度：中等

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5．椭圆
x2
4
+y²=1上的点到直线x-y+3
5
=0的距离的最小值是．

难度：中等

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6．椭圆ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）与直线y=1-2x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为
3
2
，则
a
b
的值为．

难度：中等

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7．已知斜率为1的直线l过椭圆
x2
4
+y²=1的右焦点F交椭圆于A、B两点，
（1）求焦点F的坐标及其离心率
（2）求弦AB的长．

难度：中等

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8．椭圆W的中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴，且过点(0，
3
)，其右焦点为F（1，0）．过原点O作直线l₁交椭圆W于A，B两点，过F作直线l₂交椭圆W于C，D两点，且
AB
∥
CD
．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）求证：|AB|²=4|CD|．

难度：较难

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9．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过椭圆的左顶点A，且与椭圆相交于另一点B．
（i）若|AB|=
4
2
5
，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且
QA
•
QB
=4，求y₀的值．

难度：较难

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10．已知圆O：x²+y²=1与x轴交于A，B两点，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率是
2
2
，且与圆O恰有两个公共点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图过点M（-2，0）作直线l与圆相切于点N，设椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，求三角形△NF₁F₂的面积．

难度：中等

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