知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知双曲线

=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4

，虚轴的一个端点与抛物线x²=2py（p＞0）的焦点重合，直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

难度：较难

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2．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，求证：λ₁+λ₂为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C₂于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
+1=0，若点S满足：
OS
=
OP
+
OQ
，证明：点S在椭圆C₂上．

难度：较难

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3． P是圆x²+y²=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C₁的方程为：
x²=8（y-m）（m＞0）
（1）求轨迹C的方程；
（2）若曲线C与曲线C₁只有一个公共点，求曲线C₁的方程；
（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C₁都只有一个交点的直线l方程．

难度：较难

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4．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂且F₂恰为抛物线x=
1
4
y2的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF₁F₂是以AF₁为底边的等腰三角形，则双曲线C的方程为．

难度：较难

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5．如图，曲线E是由抛物线弧E₁：y²=4x（0≤x≤
2
3
）与椭圆弧E₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所围成的封闭曲线，且E₁与E₂有相同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆弧E₂的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂，且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求
r1
r2
的取值范围．

难度：较难

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6．已知F₁，F₂分别是椭圆C₁：
x2
a2
+y²=1（a＞1）的左、右焦点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若椭圆C₁与双曲线C₂：
y2
3
-
x2
1
=1的离心率互为倒数，求此时实数a的值；
（Ⅱ）若直线l经过点F₁和点（0，1），且原点到直线l的距离为
2
2
；又另一条直线m，斜率为1，与椭圆C₁交于E，F两点，
OE
⊥
OF
，求直线m的方程；
（Ⅲ）若在直线x=
a2
a2-1
上存在点P，使线段PF₁的中点M
MF2
⊥
PF1
．求实数a的取值范围．

难度：较难

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7．已知抛物线C：x²=y的焦点为F，过抛物线C上两个不同的点A，B的切线相交于点P．
（1）若P在直线y=-1上，则直线AB是否恒过某个定点M？若是，请求点M的坐标；若不是，请说明理由．
（2）（文科）若P在直线y=-1上，求
AF
•
BF
|
AF
|+|
BF
|
的最大值．
（理科）若P在直线y=-1上，求
cos＜
AF
，
BF
＞
|
AF
|
|
BF
|
+
|
BF
|
AF
+2
的取值范围．
（3）（理科）动点G满足
GA
+
GB
+λ
GP
=
0
，是否存在实数λ，使G在曲线C上？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．椭圆C₁和抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点O，点F是椭圆C₁的右焦点，点M位于x轴上方且在抛物线C₂的准线上，已知曲线C₁：C₂上各有两点，其坐标关系如下表：
x -4 -1 -
1
2
0
y -8
3
2
2
2
3
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）求以线段OM为直径且被直线5x+12y-9=0截得的弦长为4的圆C的方程；
（Ⅲ）过点F斜率为k（k≠0）的直线l与C₁交于P、Q两点，与圆C交于A、B两点．问：是否存在直线l，使得线段PQ与线段AB有相同的中点？请说明理由．

难度：中等

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9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线

=1的右焦点重合，设AB为过抛物线C焦点的弦，则|AB|的最小值为（　　）

A．3

B．6

C．12

D．24

难度：较易

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10．若直线l过抛物线x²=-8y的焦点F，且与双曲线
x2
9
-
y2
3
=1在一三象限的渐近线平行，则直线l截圆（x-4
3
）²+y²=4所得弦长为．

难度：较易

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