知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．

难度：中等

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2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥PB，PA=PD．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAB；
（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC=90°，AB=2，求二面角E-PC-B的余弦值．

难度：中等

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3．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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4．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB．
（1）求AD₁与面BB₁D₁D所成角的正弦值；
（2）点E在侧棱AA₁上，若二面角E-BD-C₁的余弦值为
3
3
，求
AE
AA1
的值．

难度：中等

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5．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，设点M满足
PM
=λ
MC
（λ＞0）．
（1）当λ=
1
2
时，求直线PA与平面BDM所成角的正弦值；
（2）若二面角M-AB-C的大小为
π
4
，求λ的值．

难度：较难

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6．如图，三棱柱ABC-DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB，AB=4，∠DEB=60°，G是DE的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF；
（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P-GE-B为45°，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥B-AA₁C₁C中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-C的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段上BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求
BD
BC1
的值．

难度：中等

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8．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若点M在线段AP的延长线上且P为MA的中点，PA=1，AD=2，求二面角
B-ED-M的余弦值．

难度：中等

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9．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD，AD⊥CD，PA=PD，AD∥BC，AB=AD=2BC=2，E是棱PD的中点，设二面角P-AD-B的值为θ．
（Ⅰ）当θ=
π
2
时，求证：AP⊥CE；
（Ⅱ）当θ=
π
6
时，求二面角P-AB-D的余弦值．

难度：中等

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10．如图，正四棱锥P-ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．
（Ⅰ）若OE=1，求二面角B-PQ-D的平面角的余弦值；
（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P-ABCD和Q-ABCD公共部分的体积．

难度：较难

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