知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•梅州二模）如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，底面边长的侧棱长均为2，A₁B=
6
．
（1）求证：A₁B⊥平面AB₁C．
（2）求直线BC₁到平面ABB₁A₁所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016春•盐城校级期中）如图，四边形ABCD、ADEF为正方形，G，H是DF，FC的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BC⊥平面CDE．

难度：较易

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3．（2016•乌鲁木齐模拟）如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是AA₁和CC₁的中点，且BE⊥B₁F．
（Ⅰ）求证B₁F⊥平面BEC₁；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-BEC₁的体积．

难度：中等

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4．（2016•江西模拟）如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA₁=6，且A₁A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD₁，BC上，BQ=4．
（1）若DP=
2
3
DD₁，证明：PQ∥平面ABB₁A₁；
（2）若P是D₁D的中点，证明：AB₁⊥平面PBC．

难度：中等

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5．（2016•海淀区二模）已知长方形ABCD中，AD=
2
，AB=2，E为AB中点．将△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱锥P-BCDE，如图所示．
（1）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；
（2）当平面PDE⊥平面BCDE时，求四棱锥P-BCDE的体积；
（3）求证：DE⊥PC．

难度：中等

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6．（2016•潮州二模）如图，三棱锥O-ABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC=
2
，△ABC为
等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且OM=
1
3
MP，PA=PB．
（1）证明：AB⊥平面POC；
（2）求三棱锥A-PBC的体积．

难度：中等

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7．（2016•山西模拟）如图，AB为圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C为圆O上的一点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若AB=2，BC=
3
AC，PA=AB，点M为PC的中点，求三棱锥B-MOC的体积．

难度：中等

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8．（2016•宁波校级模拟）如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2，将△BAO沿AO折起，使B点到达B′点．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC；
（Ⅱ）当三棱锥B′-AOC的体积最大时，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为
6
3
？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．已知四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面ADF；
（2）若M为CD中点，证明：在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，并求出此时三棱锥N-ADF的体积．

难度：中等

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10．如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为等腰梯形，AB∥EF，点O为AB的中点，M为CD的中点，AB=2，AF=EF=1
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若直线AM与平面CBF所成角的正弦值为
5
10
，求BC的长．

难度：中等

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