知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．
已知矩阵$A= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$．
$(1)$求$A$的逆矩阵$A^{-1}$；
$(2)$若点$P$在矩阵$A$对应的变换作用下得到点$P′(3,1)$，求点$P$的坐标．

难度：易

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2．

$(1)$如图，已知圆$O$的直径$AB=4$，$C$为$AO$的中点，弦$DE$过点$C$且满足$CE=2CD$，求$\triangle OCE$的面积．

$(2)$已知向量$\begin{bmatrix} 1 \\ \mathrm{{-}}1 \\ \end{bmatrix}$是矩形$A$的属于特征值$-1$的一个特征向量$.$在平面直角坐标系$xOy$中，点$P(1,1)$在矩阵$A$对应的变换作用下变为$P{{'}}(3,3)$，求矩阵$A$．

$(3)$在极坐标系中，求直线$θ=\dfrac{\pi}{4}(ρ∈R)$被曲线$ρ=4\sin θ$所截得的弦长$AB$．

$(4)$求函数$y=3\sin x+2\sqrt{2{+}2\cos 2x}$的最大值．

难度：中等

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3．

选修$4-2:$矩阵与变换

已知矩阵$A=\begin{bmatrix} 0\mathrm{{\quad }}1 \\ 1\mathrm{{\quad }}0 \\ \end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix} 1\mathrm{{\quad }}0 \\ 0\mathrm{{\quad }}2 \\ \end{bmatrix}$．

$(1)$ 求$AB;$

$(2)$ 若曲线$C_{1}:\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$在矩阵$AB$对应的变换作用下得到另一曲线$C_{2}$，求$C_{2}$的方程．

难度：较易

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4．
求曲线$2{{x}^{2}}-2xy+1=0$先对它作矩阵$N=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$对应的变换，在作矩阵$M=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right]$对应的变换得到的曲线方程．

难度：较易

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5．
$[$选修$4-2$：矩阵与变换$]$

已知矩阵$A=\left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$，设曲线$C$：${{(x-y)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$在矩阵$A$对应的变换下得到曲线$C′$，求$C′$的方程．

难度：易

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6．
已知矩阵$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$，若直线$y=kx+1$在矩阵$A$对应的变换作用下得到的直线过点$P(2,6)$，求实数$k$的值．

难度：易

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7．

定义$2×2$矩阵$f\left( x \right)=\left[ \begin{matrix} \cos x-\sin x & \sqrt{3} \\ \cos \left( \dfrac{\pi }{2}+2x \right) & \cos x+\sin x \\\end{matrix} \right]$ ，若$\left[ \begin{matrix} a{}_{1} & {{a}_{2}} \\ {{a}_{3}} & {{a}_{4}} \\\end{matrix} \right]={{a}_{1}}{{a}_{4}}-{{a}_{2}}{{a}_{3}}$，则$f\left( x \right)=($　　$)$

A．图象关于$(π,0)$中心对称

B．图象关于直线$x=\dfrac{\pi }{2}$对称

C．在区间$\left[- \dfrac{π}{6},0\right] $上单调递增

D．周期为$π$的奇函数

难度：较易

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8．设 $a$， $b$$∈R.$若直线 $l$： $ax$$+$ $y$$-7=0$在矩阵$A=\begin{bmatrix}3 & 0 \\ -1 & b\end{bmatrix} $对应的变换作用下，得到的直线为 $l$$′$：$9$ $x$$+$ $y$$-91=0$．

$(1)$求实数$a$，$b$的值； $(2)$求出矩阵$A$的特征值及对应一个的特征向量

难度：较易

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9．
已知函数的图象经过矩阵对应的变换得到函数的图象，则函数的解析式为 ____ ___$.$

难度：较易

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10． (1)选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=( $%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202%20%26%20a%20%5C%5C%202%20%26%20b%5Cend%7Bvmatrix%7D$ )的两^E值分别为λ₁=-1和λ₂=4．
(I)求实数的值；
(II )求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
(2)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3Dsin%5Calpha%20%20%5C%5C%20y%3D2cos%5E%7B2%7D%5Calpha%20-2%5Cend%7Bcases%7D$ ，
(a为餓)，曲线D的鍵标方程为ρsin(θ- $%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D$ )=- $%20%5Cfrac%20%7B3%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．
(I )将曲线C的参数方程化为普通方程；
(II)判断曲线c与曲线D的交点个数，并说明理由．
(3)选修4-5：不等式选讲
已知a，b为正实数．
(I)求证： $%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bb%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%7D$ ≥a+b；
(II)利用(I)的结论求函数y= $%20%5Cfrac%20%7B%281-x%29%5E%7B2%7D%7D%7Bx%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B1-x%7D$ (0＜x＜1)的最小值．

难度：较易

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