知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：
x=
2
cosθ
y=
2
sinθ
（θ为参数）上的点到直线l：ρcos（θ-
π
4
）=
2
k的距离为d．
①当k=3时，求d的最大值；
②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．

难度：中等

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2．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρ=
2
．直线l的参数方程为：
x=1+
2
2
t
y=
2
2
t
（t为参数）．
（I）写出曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程：
（Ⅱ）若直线1与曲线C交于A，B两点．设点P是曲线C上的一个动点（且不与点A，B重合）．求△PAB面积的最大值．

难度：较易

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3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=m-
2
2
t
y=
2
2
t
（其中t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2
（1）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值；
（2）若点P（m，0），直线l与曲线C交于相异两点A，B，求|PA|•|PB|的取值范围．

难度：中等

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4．参数方程
x=sin
α
2
+cos
α
2
y=
2+sinα
（α为参数）表示的普通方程是．

难度：较易

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5．在平面直角坐标系中，曲线C₁：
x=8cosθ
y=6sinθ
（θ为参数），直线C₂：
x=t+1
y=t-1
（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₃：：ρ=4．
（I）若C₂与C₃相交于A，B两点，求AB的长；
（Ⅱ）P为C₃上一点，P的极坐标为（4，
3π
2
），Q为C₁上的动点，PQ的中点为M，求M到直线C₂的距离的最小值．

难度：中等

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6．已知曲线C₁的参数方程为
x=2-2t
y=3-t
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）把C₁的参数方程化为普通方程，C₂的极坐标方程化为直角坐标；
（2）若点M在曲线C₁上，点N在曲线C₂上，求|MN|的取值范围．

难度：较易

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7．已知圆C：
x=1+cosθ
y=sinθ
（θ为参数）和直线l：
x=2++tcosα
y=
3
+tsinα
（其中t为参数，α为倾斜角）
（1）当α=
π
3
时，求圆上的点到直线l距离的最小值；
（2）当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

难度：中等

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8．已知曲线C₁的参数方程为
x=3cosθ
y=
3
sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程；
（Ⅱ）已知曲线C₂：
x=rcosα
y=rsinα
（α为参数），且曲线C₁、C₂的交点形成一正方形，求该正方形的面积．

难度：较易

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9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：
x=acosφ
y=bsinφ
（φ为参数），其中a＞b＞0，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2cosθ，射线l：θ=α（ρ≥0），设射线l与曲线C₁交于点P，当α=0时，射线l与曲线C₂交于点O，Q，|PQ|=1；当α=
π
2
时，射线l与曲线C₂交于点O，|OP|=
3
．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程；
（Ⅱ）设直线l′：
x=-t
y=
3
t
（t为参数，t≠0）与曲线C₂交于点R，若α=
π
3
，求△OPR的面积．

难度：中等

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10．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为
x=1-
2
t
y=2+
2
t
（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）设点Q（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|•|QB|的值．

难度：中等

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