知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=|x+1|-|2x-1|
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜-1
（Ⅱ）若f（x）≤a|x-2|对任意x∈R成立，求实数a的最小值．

难度：较难

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2．（1）用分析法证明：当a＞2时，
a+2
+
a-2
＜2
a
；
（2）设a，b是两个不相等的正数，若
1
a
+
1
b
=1，用综合法证明：a+b＞4．

难度：中等

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3．若e^x＞ln（x+m）（其中x∈R且x＞-m），证明：m＜
5
2
．

难度：中等

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4．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，试建立适当的直角坐标系，证明：|AM|=
1
2
|BC|．

难度：较易

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5．设|x|≠1，求证：
x
1-x2
+
x2
1-x4
+
x4
1-x8
+…+
x2n-1
1-x2n
=
1
1-x
•
x-x2n
1-x2n
（其中n∈N^*）

难度：中等

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6．已知正方形ABCD，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中的△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②，取DF的中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图①中的△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，则（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

难度：中等

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7．已知三角形的三边a，b，c，三角形的重心到外接圆的距离为d，外接圆半径为R，求证：a²+b²+c²+9d²=9R²．

难度：中等

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8．已知负实数a、b，求证：a≤
2b-b2
a
．

难度：较易

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9．已知α∈（0，π），求证：2sin2α≤
sinα
1-cosα
，试用综合法和分析法分别证明．

难度：较易

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10．若a，b∈R₊，且a+b=1，求证：
a+
1
2
+
b+
1
2
≤2．要求用两种方法证明：（1）分析法；（2）综合法．

难度：中等

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