知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
a
x-1
+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g（x）=|x+a|+|x+1|．
（1）求实数a的值；
（2）求函数g（x）的最小值．

难度：较难

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2．已知实数x满足3^2x-4-
10
3
•3x-1+9≤0且f（x）=log₂
x
2
•log
2
x
2
．
（1）求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．

难度：中等

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3．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0 时，有
f(m)+f(n)
m+n
＞0．
（1）求证：f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）求不等式f(x+
1
2
)＜f(1-x)的解集；
（3）若f(x)≤t2+t-
1
cos2α
-2tanα-1对所有x∈[-1，1]，α∈[-
π
3
，
π
4
]恒成立，求实数t的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）=f（sinx）-2存在零点，求a的取值范围．

难度：较难

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5．已知不等式x²-5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}．
（1）求实数a，b的值；
（2）若0＜x＜2，f(x)=
a
x
+
b
2-x
，求f（x）的最小值．

难度：较易

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6．已知函数f(x)=(
1
2
)x，其反函数为y=g（x）．
（Ⅰ）若g（mx²+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（Ⅲ）是否存在实数m＞n＞2，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）（n∈N^*）．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=x|x-a|，x∈R．
（I）当a=0时，求证：函数f（x）递增；
（Ⅱ）设a＞0，若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为
a2
4
，求正实数a的取值范围．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=（4x²+4ax+a²）
x
，其中a＜0．
（1）当a=-4时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值；
（3）若f（x）在区间[1，4]上单调递减，试求a的范围．

难度：较难

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10．设a为实数，函数f（x）=（x-a）²+|x-a|-a（a+1），x∈R．求f（x）的单调区间及最小值．

难度：中等

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