知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f(x)=
-x2+ax        (x≤1)
a2x-7a+14  (x＞1)
，若∃x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则实数a的取值范围是    ．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=
bx
ax2+c
，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．
（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若0＜a≤1，求证：当x＞1时，（x³+1）f（x）＞9+lnx．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=2^x（x∈R），
（1）解不等式f（x）-f（2x）＞16-9×2^x；
（2）若函数q（x）=f（x）-f（2x）-m在[-1，1]上有零点，求m的取值范围；
（3）若函数f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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4．对于∀x∈R，等式x⁵=a₀+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+A+a₅（x-2）⁵恒成立，则a₂= ．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m-2|x-4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m的最大值为a．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x²+3y²+6z²的最小值．

难度：中等

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6．已知正数x，y，z满足x²+y²+z²=6．
（Ⅰ）求x+2y+z的最大值；
（Ⅱ）若不等式|a+1|-2a≥x+2y+z对满足条件的x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=2sin²x（
π
4
-x）-
3
（sin²x-cos²x）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若f（x）＜m+2，在x∈[0，
π
6
]上恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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8．已知f（x）=a^x（a＞0，a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（1）若y=2x与g（x）相切，求a的值；
（2）若x＞0时，f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的范围．

难度：中等

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9．设a＞1，n∈N，若不等式
n a
-1＜
a-1
n
恒成立时，n的最小值为．

难度：较难

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10．设任意实数x₀＞x₁＞x₂＞x₃＞0，要使log
x0
x1
1993+log
x1
x2
1993+log
x2
x3
1993≥k•log
x0
x3
1993恒成立，则k的最大值是．

难度：较难

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