知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=2log₄（1+x）-log₄（1+ax²）在定义域（-1，1）内是奇函数，其中a是常数．
（1）求a的值；
（2）求使不等式f（-x）≤f（x）-1成立的实数x的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值5和最小值1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，3]使得方程|f（x）-2x|=t²-2t-8有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设g(x)=
f(x)
x
，若g(2x)+k•
2
2x
-k≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=m-|x-2|，不等式f（x+2）≥0的解集为[-2，2]．
（1）求m的值；
（2）若∀x∈R，f（x）≥-|x+6|-t²+t恒成立，求实数t的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数y=f（x）（x∈I），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x），x∈I．即y=h（x），x∈I满足对任意x∈I，两点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g(x)=
4-x2
关于f（x）=3x+m的对称函数，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数m的取值范围是．

难度：中等

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5．已知定义域为R的函数f(x)=
1
2x+1
+a为奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明函数f（x）在R上是减函数；
（3）若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对任意的实数t恒成立，求k的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数
（I）求a的值；
（II）求λ的取值范围；
（III）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f′（x）-6，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0成立，求实数x的取值范围；

难度：较难

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8．已知指数函数y=g（x）满足：g(-3)=
1
8
，定义域为R的函数f（x）=
-g(x)+n
2g(x)+m
是奇函数．
（1）确定函数g（x）与f（x）的解析式；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数y=f（x）是定义在区间[-
3
2
，
3
2
]上的偶函数，且x∈[0.
3
2
]时，f（x）=-x²-x+5
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数g（x）=-x²-x+5，x∈[0.
3
2
]的图象按向量a=（1，b）（b∈R）平移得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的解析式并解不等式h（x）＜0．

难度：中等

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10．已知
i
、
j
分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，
OB1
=a•
i
+2
j
（a∈R），对任意正整数n，
BnBn+1
=51•
i
+3•2n-1
j
．
（1）若
OB1
⊥
B2B3
，求a的值；
（2）求向量
OBn
；
（3）设向量
OBn
=xn•
i
+yn•
j
，求最大整数a的值，使对任意正整数n，都有x_n＜y_n成立．

难度：较难

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