知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2+cx(a，b，c∈R，a≠0)的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数g(x)=k(x)-
1
2
x为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式k(x)≤
1
2
x2+
1
2
恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：
1
k(1)
+
1
k(2)
+…+
1
k(n)
＞
2n
n+2
（n∈N^*）．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=
2x+b
2x+a
（a、b为常数），且f（1）=
1
3
，f（0）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明．

难度：中等

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3．已知函数f(x)=
ax2+4
x
，且f（1）=5．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）判断函数f（x）在[3，+∞）上的单调性，并加以证明．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=2^x+2^-x
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（Ⅱ）证明f（x）在[0，+∞）上为单调增函数．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=x-
1
x
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于
11a-2
2a
，求a的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f(x)=loga(
x2+1
+x)．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）-G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．是否存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f^-1（x）与g（x）=a^x在闭区间[1，2]上分离？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．已知f（x）=lgx，g（x）=x+
x2+1
，h（x）=f[g（x）]．
（1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数；
（2）若（x+
x2+1
）（y+
y2+
1
4
）=
1
2
，求证：x+2y=0．

难度：较难

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8．下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；②y=-
1
x
在定义域内是增函数；③函数f(x)=
1-x2
|x+1|-1
图象关于原点对称；④如果关于实数x的方程ax2+
1
x
=3x的所有解中，正数解仅有一个，那么实数a的取值范围是a≤0；其中正确的序号是．

难度：中等

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9．判断函数的奇偶性：函数f（x）=x³•1g
1-x
1+x
是．

难度：较易

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10．已知：对∀x∈R，y=（x）满足f（a+x）=f（b-x）（其中a，b为常数），求证：y=f（x）的图象关于直线x=
a+b
2
对称．

难度：中等

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