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          共50条信息

            • 1． 已知函数f（x）=xlnx-
              a
              2
              x2（a∈R）．
              （1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；
              （2）若a=0，求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
              （3）若函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x1，x2，求证：
              1
              lnx1
              +
              1
              lnx2
              ＞2ae．
              难度：较难
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            • 2． 已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
              （1）求实数m的值；
              （2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=
              f(b)-f(a)
              b-a
              ．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=
              f(x1)-f(x2)
              x1-x2
              (x-x1)+f(x1)              ，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
              （3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．
              难度：较难
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            • 3． 已知函数f（x）=（x+1）2ex，设k∈[-3，-1]，对任意x1，x2∈[k，k+2]，则|f（x1）-f（x2）|的最大值为（　　）
              A．4e-3
              B．4e
              C．4e+e-3
              D．4e+1
              难度：较难
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            • 4． 已知函数f(x)=
              -x3+x2+bx+c(x＜1)
              alnx(x≥1)
              的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．
              （Ⅰ）求实数b，c的值；
              （Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．
              难度：较难
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            • 5． 已知f（x）=3-4x+2xln2，数列{an} 满足：-
              1
              2
              ＜a1＜0，21+an+1=f（an） （n∈N*）
              （1）求f（x）在[-
              1
              2
              ，0]上的最大值和最小值；
              （2）用数学归纳法证明：-
              1
              2
              ＜an＜0；
              （3）判断an与an+1（n∈N*）的大小，并说明理由．
              难度：中等
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            • 6． 若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且f(x)极小值=f(-
              		3
              3
              )=-
              2
              		3
              9
              ．
              （1）求函数f（x）的解析式；
              （2）求函数f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
              （3）设函数g(x)=
              f(x)
              x2
              ，若不等式g(x)•g(2k-x)≥(
              1
              k
              -k)2              在（0，2k）上恒成立，求实数k的取值范围．
              难度：较难
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            • 7． 已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx．（其中e为自然对数的底数），
              （Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+（e-1）y=1垂直，求a的值；
              （Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
              （Ⅲ）当a=-1时，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 8． 已知函数f（x）=6lnx+x2-8x，g(x)=
              p
              x
              +x2
               (p∈R)
              ．
              （1）求函数f（x）的单调递增区间；
              （2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．
              难度：较难
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            • 9． 设函数f（x）=x2+2lnx，用f′（x）表示f（x）的导函数，g(x)=(x2-
              m2
              12
              )f′(x)              ，其中m∈R，且m＞0．
              （1）求函数f（x）的单调区间；
              （2）若对任意的x1、x2∈[
              1
              3
              ，1]              都有f′（x1）≤g′（x2）成立，求m实数的取值范围；
              （3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′（a）]n-2n-1f′（an）≥2n（2n-2）．
              难度：较难
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            • 10． 已知函数f（x）=lnx，g（x）=
              1
              2
              ax2              +bx（a≠0）
              （Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
              （Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
              （Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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