知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知各项不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=
1
2
a_n•a_n+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）设数列{b_n}满足：b_n=2an-2an+1，且
lim
n→∞
（b_kb_k+1+b_k+1b_k+2+…+b_nb_n+1）=
1
384
，求正整数k的值；
（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c_k}中，c₁=1，
ck+1
ck
=
k-m
ak+1
，求c₁+c₂+…+c_m．

难度：中等

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2．设整数n≥3，集合P={1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：．

难度：中等

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3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（
3
2
-x）=f（x），f（-2）=-3，若数列{a_n}的前n项和S_n满足
Sn
n
=
2an
n
+1，则f（a₅）+f（a₆）= ．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=ax+
a-1
x
+（1-2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n≥1）．

难度：较难

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5．等差数列{a_n}的首项a₁=
1
2
，前三项和为
9
2
，点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在函数y=log₃2x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=3^b_n+2ⁿ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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6．已知二次函数y=f（x）的图象过坐标原点，其导函数f′（x）=6x-2，数列{a_n}前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求当Tn≥
m
20
对所有n∈N^*都成立m取值范围．

难度：中等

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7．正项数列{a_n}的前n项和S_n满足12S_n=
a
2
n
+6a_n+5．且a₁＜2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使T_n＜
m
20
对所有n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）记C_n=
1
2
（
an+1
an
+
an
an+1
）（n∈N^*），求和：B_n=C₁+C₂+…+C_n．

难度：中等

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8．若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=
an+λ
an+1
，（n∈N^*，λ＞0）．
（1）若数列{a_n}单调递减，求λ的取值范围；
（2）若λ=4，①求证：数列{|a_n-2|}单调递减；
②求证：1-（
2
3
）ⁿ≤
1
a1+2
+
1
a2+2
+…+
1
an+2
≤
n
3
（n∈N^*）

难度：中等

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9．已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_na_n+1=3a_n，a₁=3．
（1）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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10．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=3，S₅=25．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}的前n项和为T_n．且b=
1
anan+1
，求T_n．

难度：中等

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