知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•池州二模）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC=2
（I）求证：AC⊥CD；
（Ⅱ）点E在棱PC的中点，求点B到平面EAD的距离．

难度：中等

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2．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=5，AD=4，BD=3，将△BCD沿着BD翻折到平面BC₁D处（不与平面ABCD重合），E，F分别为对边AB，C₁D的中点，
（Ⅰ）求证：EF⊥BD；
（Ⅱ）若异面直线EF，BC₁所成的角为30°，求二面角C₁-AB-D的平面角的正切值．

难度：中等

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3．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面A₁B₁C₁，四边形AA₁B₁B是矩形，A₁C₁=A₁B₁，∠B₁A₁C₁=120°，BC∥B₁C₁，B₁C₁=2BC．
（1）求证：A₁C⊥B₁C₁；
（2）当二面角C-AC₁-B₁的正切值为2时，求
AA1
A1B1
的值．

难度：较难

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4．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）证明：AD⊥BC
（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A-BD-C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．

难度：中等

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5．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2．将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如图（2）．
（Ⅰ）求证：DE∥平面A′BC；
（Ⅱ）求证：A′C⊥BE；
（Ⅲ）线段A′D上是否存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE．若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD，AD⊥CD，PA=PD，AD∥BC，AB=AD=2BC=2，E是棱PD的中点，设二面角P-AD-B的值为θ．
（Ⅰ）当θ=
π
2
时，求证：AP⊥CE；
（Ⅱ）当θ=
π
6
时，求二面角P-AB-D的余弦值．

难度：中等

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7．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设PA=AB=2，求二面角A-EF-D的余弦值．

难度：中等

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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，DC=4，∠DAB=60°，侧面△PAD和△PAB均为边长为2的正三角形，M为线段PC的中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥AB；
（Ⅱ）求二面角P-BC-D的平面角的正切值；
（Ⅲ）试问：在线段AB上是否存在点N，使得MN与平面PDB的交点恰好是△PDB的重心？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥AB，PA⊥BC，D为BC的中点，PA=PD=2，AB=AC=4．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）在棱PB上是否存在点E，使得二面角E-AD-P的大小为45°，若存在，请求出PE的长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC=AB=
3
，BC=
6
，∠PBA=
π
3
，点D，E，F分别是PA、PB、PC上的点并且满足PD：PA=PE：PB=PF：PC=1：3
（Ⅰ）求证：AB⊥DF；
（Ⅱ）设平面ABC与平面AEF所成角为θ，求cosθ的值．

难度：中等

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