知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵．
（Ⅰ）求（MN）^-1；
（Ⅱ）判断矩阵MN是否存在特征值．

难度：较难

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2．若矩阵A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它们对应的特征向量分别为
α1
=
1
0
，
α2
=
0
1

（1）求矩阵A及逆矩阵A^-1
（2）若
β
=
1
16
，试求A¹⁰⁰
β
．

难度：中等

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3．已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．

难度：较难

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4．选修4-2：矩阵与变换
若二阶矩阵M满足M
1 2
3 4
=
7 10
4 6
．
（Ⅰ）求二阶矩阵M；
（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x²+8xy+6y²=1上，求所得曲线的方程．

难度：较难

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5．已知曲线C：xy=1，若矩阵M=
.
2
2
-
2
2
2
2
2
2
.
对应的变换将曲线C变为曲线C′，求曲线C′的方程．

难度：中等

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6．已知矩阵P
3 2
1 1
所对应的线性变换把点A（x，y）变成点Q（0，-2），试求P的逆矩阵及点A的坐标．

难度：较难

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7．（2013春•宝山区校级月考）如图是一个2013×2013阶矩阵，依照该矩阵中元素的规律，则元素100在此矩阵中总共出现了次．

难度：较难

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8．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x+2y+1=0在矩阵M=
a -2
3 b
对应的作用下得到直线m：x-y-2=0，求实数a，b的值．

难度：中等

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9．（选修4-2：矩阵与变换）
设T是矩阵
ac
b0
所对应的变换，已知A（1，0）且T（A）=P
（1）设b＞0，当△POA的面积为
3
，∠POA=
π
3
，求a，b的值；
（2）对于（1）中的a，b值，再设T把直线4x+y=0变换成
3
x-y=0，求c的值．

难度：中等

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10．如图矩形 OABC在变换的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，求变换 T所对应的矩阵 M．

难度：中等

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