知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设{a_n}的公比q的等比数列．
（1）推导{a_n}的前n项和公式；
（2）设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的首项a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明：数列{
1
an
-1}是等比数列；
（Ⅱ）数列 {
2n
an
}的前n项和S_n．

难度：中等

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3．在数列{a_n}中，a1=
5
3
，且3a_n+1=a_n+2．
（1）设b_n=a_n-1，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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4．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n-2n对n∈N^*成立，
（1）证明数列{a_n+2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}满足a₁=
1
2
，a_n=
an-1
2-an-1
（n≥2）．
（1）求证：{
1
a n
-1}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=
2n-1
an
，求{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数n都有a_n是S_n与n的等差中项．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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7．己知数列{a_n}和致列{b_n}满足a₁=m，a_n+1=λa_n+n，b_n=a_n-
2n
3
+
4
9
．
（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列；
（Ⅱ）当λ=-
1
2
，m≠
2
9
时，判断{b_n}是否为等比数列；
（Ⅲ）设S_n为数列{b_n}的前项和，在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数m，使得对任意的正整数n，都有
1
3
≤S_n≤
2
3
？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前n项和S_n=a（bⁿ-1）（a≠0，b≠0且b≠1），证明：{a_n}是等比数列．

难度：较易

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9．已知数列{a_n}满足：a₁=
3
2
，且a_n=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N^*）．证明：{1-
n
an
}为一个等比数列，求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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10．已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=
1(n=0)
f[g(n-1)](n≥1)
．
（1）若a_n=g（n）-g（n-1）（n∈N^*），求证：{a_n}为等比数列；
（2）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求S_n（用n，b表示）．

难度：中等

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