知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•江苏模拟）设数列{a_n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a₁，第二层两个数a₂和a₃，第三层三个数a₄，a₅和a₆，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a₁=a₂+a₃，a₂=a₄+a₅，a₃=a₅+a₆，…．
（1）若第四层四个数为0或1，a₁为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，a₁为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？

难度：中等

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2．

（2016•石家庄一模）如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（15，2）表示为（　　）

A．

B．

C．

D．

102

难度：中等

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3．考察下列等式：
cos
π
4
+isin
π
4
=a₁+b₁i，
（cos
π
4
+isin
π
4
）²=a₂+b₂i，
（cos
π
4
+isin
π
4
）³=a₃+b₃i，
…
（cos
π
4
+isin
π
4
）ⁿ=a_n+b_ni，
其中i为虚数单位，a_n，b_n（n∈N^*）均为实数，由归纳可得，a₂₀₁₅+b₂₀₁₅的值为．

难度：中等

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4．已知3¹=3，3²=9，3³=27…，则3²⁰¹⁶的个位数上数字为（　　）

A．1

B．3

C．7

D．9

难度：中等

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5．猜想
11…1
2n个
-
22…2
n个
（n∈N^*）的值．

难度：中等

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6．已知2+
2
3
=22×
2
3
， 3+
3
8
=32×
3
8
， 4+
4
15
=42×
4
15
， …，若9+
a
b
=9²+
a
b
（a，b为正整数）则a+b= ．

难度：中等

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7．（1）在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=
2an
2+an
，n∈N^*．猜想这个数列的通项公式．
（2）已知正项数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n=
1
2
（a_n+
1
an
）（n∈N^*），求出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式．

难度：较易

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8．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，得数列{a_n}，则a_n-a_n-1= （n≥2）；对n∈N^*，a_n= ．

难度：中等

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9．观察下列等式：
12
1×3
=
1
3
，
12
1×3
+
22
3×5
=
3
5
，
12
1×3
+
22
3×5
+
32
5×7
=
6
7
，
12
1×3
+
22
3×5
+
32
5×7
+
42
7×9
=
10
9
．
…
根据以上等式，可猜想出第n个等式为．

难度：中等

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10．对于中心在原点，离心率也相同的n个椭圆，其方程分别为：C₁：
x2
a2
+
y2
λ2a2
=1（0＜λ＜1，a＞0），C₂：
x2
λ2a2
+
y2
λ4a2
=1，…，C_n：
x2
λ2(n-1)a2
+
y2
λ2na2
=1，即第i个椭圆的短轴的等于第i+1个椭圆的长轴，则称这n个椭圆为相似椭圆系，并称λ为此相似椭圆系的相似比，若椭圆C₁的方程为
x2
16
+
y2
8
=1，则第3个椭圆C₃的方程为．

难度：中等

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