知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点A（-2，0），B（1，0），平面内的动点P满足|PA|=λ|PB|（λ为常数，λ＞0）．
（1）求点P的轨迹E的方程，并指出其表示的曲线的形状．
（2）当λ=2时，P的轨迹E与x轴交于C、D两点，M是轨迹上异于C、D的任意一点，直线l：x=-3，直线CM与直线l交于点C′，直线DM与直线l交于点D'．求证：以C′D′为直径的圆总过定点，并求出定点坐标．

难度：较难

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2．如图在直角坐标系xoy中，圆O与x轴交于A、B两点，且|AB|=4，定直线l垂直于x轴正半轴，且到圆心O的距离为4，点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交l于点M、N．
（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆的方程；
（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内一定点．

难度：较难

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3．已知圆A：（x-2）²+y²=1，曲线B：6-x=
4-y2
和直线l：y=x．
（1）若点M、N、P分别是圆A、曲线B和直线l上的任意点，求|PM|+|PN|的最小值；
（2）已知动直线m：（a-2）x+by-2a+3=0（a，b∈R）与圆A相交于S、T两点，又点Q的坐标是（a，b）．
①判断点Q与圆A的位置关系；
②求证：当实数a，b的值发生变化时，经过S、T、Q三点的圆总过定点，并求出这个定点坐标．

难度：较难

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4．已知圆C经过圆x²+y²-1=0和圆x²+y²-x-y=0的两个交点，且圆心C的横坐标为1，则圆C方程为．

难度：中等

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5．已知圆方程x²+y²-4px-4（2-p）y+8=0，且p≠1，p∈R，
（1）求证圆恒过定点；
（2）求圆心的轨迹．

难度：中等

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6．求圆心在x-y-4=0上，并且经过两圆C₁：x²+y²-4x-3=0和C₂：x²+y²-4y-3=0的交点的圆方程．

难度：中等

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7．已知圆C₁：x²+y²-4x+2y=0，C₂：x²+y²-2y-4=0交于A、B两点；
（1）求过A、B两点的直线方程；
（2）求过A、B两点，且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程．

难度：中等

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8．求圆心在直线x-y+1=0上，且经过圆x²+y²+6x-4=0与圆x²+y²+6y-28=0的交点的圆方程．

难度：中等

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9．已知抛物线C：x²=4y，M为直线l：y=-1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（Ⅱ）证明：以AB为直径的圆恒过点M．

难度：较易

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10．求以圆C₁：x²+y²-12x-2y-13=0和圆C₂：x²+y²+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．

难度：中等

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