知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•琼海校级月考）有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成．如图所示，隧道高8m，宽16m，为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方面上高度之差至少为0.25m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，求车辆通过隧道时，慢车道的限制高度（用分数表示）．

难度：中等

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2．动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，求动点P的轨迹方程．

难度：中等

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3．抛物线y²=4x上一点P到它的焦点F的距离为5，O为坐标原点，则△PFO的面积为（　　）

A．1

B．

C．2

D．

难度：中等

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4．求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦点，直线y=
3
x为一条渐近线．求双曲线C的方程．
（2）焦点在直线3x-4y-12=0 的抛物线的标准方程．

难度：中等

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5．顶点在原点，准线方程为y=
5
2
的抛物线方程是．

难度：较易

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6．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．（1）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知K（m，0）（m∈R，m≠0）是x轴上一动点，O为坐标原点，过点K且倾斜角为
π
4
的一条直线l与抛物线相交于不同的P，Q两点，求
.
OP
•
.
OQ
+4
m
的取值范围．

难度：中等

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7．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m，跨度是2.2m，求拱形的抛物线方程．

难度：中等

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8．已知双曲线C₁的-个焦点是F（4，0），一条渐近线方程是
15
x-y=0，抛物线C₂；y²=2px（p＞0）的准线恰好经过双曲线C₁的左顶点．
（1）求双曲线C₁和抛物线C₂的标准方程；
（2）经过双曲线C₁焦点F的直线1与抛物线C₂交于A、B两点，若O是坐标原点．求证：0A⊥0B．

难度：中等

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9．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出图形：
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
（2）顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点P（-6，-3）．

难度：较易

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10．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与直线x-y+1=0相切，椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C₁的焦点F重合，且离心率为
2
2
，点M（a²，0）．
（1）求抛物线C₁与椭圆C₂的方程；
（2）若在椭圆C₂上存在两点A，B使得
FA
=λ
FB
（λ∈[-2，-1]），求|
MA
+
MB
|的最小值．

难度：较难

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