知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•滨州期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=
1
3
AD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（N与A不重合）．
（1）求证：MN∥BC；
（2）若PM=
1
3
PD，求证：AC⊥BM．

难度：中等

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2．（2015秋•肇庆期末）如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SA=AB=2．
（Ⅰ）若平面SAB∩平面SDC=SH，求证：AB∥SH；
（Ⅱ）求直线SC与平面SAB所成的角的正弦值．

难度：中等

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3．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2
17
，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四棱锥D-GEFH的体积．

难度：较难

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4．如图，三棱锥P-ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，M，N分别是PE，PF上的点．
（1）M，N分别是PE，PF的中点时，求证：MN∥平面ABC．
（2）当MN∥平面ABC时，求证：MN∥AC．

难度：中等

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5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面BB₁C₁C，AC⊥CC₁．
（1）求证：平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）若点M在棱AC上，且
AM
MC
=
2
3
，试问：在棱B₁C₁上是否存在一点N，使得直线MN∥平面ABB₁A₁？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知平面α，β，γ，且α⊥γ，β∥α，求证：β⊥γ．

难度：中等

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7．如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G分别在棱AB，BC，CD上（与顶点不重合）．
（1）若AC∥平面EFG，且BD∥平面EFG，
BE
AE
=
3
4
，求
FG
BD
；
（2）若E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点，试分析直线AC，BD与平面EFG的关系，并证明．

难度：中等

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8．如图，已知底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，平面MNGH与直线PB和直线AC平行，点E为PD的中点，点F在CD上，且DF：FC=1：2．
（1）求证：四边形MNGH是平行四边形；
（2）求作过EF作四棱锥P-ABCD的截面，使PB与截面平行（写出作图过程，不要求证明）．
截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．

难度：中等

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9．如图，梯形ABCD，AB∥CD，△ABC为等边三角形，AB=1，CD=2，点E，F分别为AB，AD的中点，将△ABC沿AC折起到AB′C位置，使得CE⊥AD．
（1）求三棱锥B′-ADC的体积；
（2）若P在线段CD上，满足CE∥平面B′PF，求
CP
PD
的值．

难度：中等

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10．如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．
（1）求证：BE=DE；
（2）若∠BCD=120°，是否在线段AE上存在一点M，使得DM∥平面EBC，若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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