知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=
.
3 3
c d
.
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
α1
=
.
1
1
.
，属于特征值1的一个特征向量为
α2
=
.
3
-2
.
．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

难度：中等

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2．已知二阶矩阵属于特征值-1的一个特征向量为，求矩阵A的逆矩阵．

难度：中等

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3．若矩阵A有特征向量i=（）和j=（），且它们所对应的特征值分别为λ₁=2，λ₂=-1．
（1）求矩阵A及其逆矩阵A^-1；
（2）求逆矩阵A^-1的特征值及特征向量；
（3）对任意向量α=（），求（（A^-1）²⁰α．

难度：中等

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4．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A（-1，2），B（3，2），C（3，-2），D（-1，-2），A'（-1，0），B'（3，8），C'（3，4），D'（-1，-4）．求将四边形ABCD变成四边形A'B'C'D'的变换矩阵M．

难度：中等

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5．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）已知矩阵M=
1 2
2 1
，β=
1
7
，（Ⅰ）求M^-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M¹⁰⁰β．
（2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
（3）已知a＞0，求证：
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．

难度：难

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6．设矩阵M=
.
3
2
-
1
2
1
2
3
2
.
的逆矩阵是M^-1=
.
a b
c d
.
，则a+c的值为．

难度：中等

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7．对于下列四个命题
①若向量
a
，
b
，满足
a
•
b
＜0，则
a
与
b
的夹角为钝角；
②已知集合A=正四棱柱，B=长方体，则A∩B=B；
③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a-3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y-2=0的异侧；
④对2×2数表定义平方运算如下：
ab
cd
)2=
ab
cd
•
ab
cd
=
a2+bcab+bd
ac+cdbc+d2
，则
10
-11
)2=
10
-21

其中真命题是（将你认为的正确命题的序号都填上）．

难度：较难

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8．（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=，属于特征值1的一个特征向量为α₂=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

难度：中等

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9．用行列式解关于x、y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论：
mx+4y=m+2
x+my=m
．

难度：中等

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10．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED²=EB•EC．

难度：中等

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