知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵．
（Ⅰ）求（MN）^-1；
（Ⅱ）判断矩阵MN是否存在特征值．

难度：较难

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2．已知二阶矩阵M有特征值λ=1及对应的一个特征向量e1=
1
-1
，且M
1
1
=
3
1
．求矩阵M．

难度：较难

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3．已知矩阵M有特征值λ₁=8及对应特征向量a₁=[
1
1
]，且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下得到直线l′：x-2y=4，求直线l方程．

难度：较难

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4．已知二阶矩阵M=
a 1
3 d
有特征值λ=-1及对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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5．已知二阶矩阵M=
a 1
0 b
有特征值λ₁=2及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）若
a
=
2
1
，求M¹⁰
a
．

难度：较难

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6．已知矩阵A=
1 2
-2 -3
，B=
0 1
1 -2
．
（Ⅰ）求A^-1以及满足AX=B的矩阵X．
（Ⅱ）求曲线C：x²-4xy+y²=1在矩阵B所对应的线性变换作用下得到的曲线C′的方程．

难度：较易

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7．已知二阶矩阵M=
2 1
0 1
，求矩阵M特征值及特征向量．

难度：较难

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8．已知矩阵A=
1 2
-1 4

（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）若β=
-1
2
，求A⁵β

难度：中等

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9．已知矩阵A=
2 n
m 1
的一个特征值为λ=2，它对应的一个特征向量为
α
=
1
2
．
（1）求m与n的值；　　　　　
（2）求A^-1．

难度：较难

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10．将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值
a
b
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．则当n=2时，数表的所有可能的特征值中最大值是．

难度：较易

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