知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x₀，y₀）、直线l：ax+by+c=0，我们称δ=
ax0+by0+c
a2+b2
为点P（x₀，y₀）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．
（1）设椭圆
x2
4
+y2=1上的任意一点P（x，y）到直线l₁：x-2y=0，l₂：x+2y=0的方向距离分别为δ₁、δ₂，求δ₁δ₂的取值范围．
（2）设点E（-t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα-2=0的方向距离分别为η₁、η₂，试问是否存在实数t，对任意的α都有η₁η₂=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．
（3）已知直线l：mx-y+n=0和椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F₁，F₂到直线l的方向距离分别为λ₁、λ₂满足λ1λ2＞b2，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．

难度：中等

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2．（1）设a，b，c均为正数，求证：a+
1
b
，b+
1
c
，c+
1
a
中至少有一个不小于2；
（2）设a＞0，b＞0，a+b=1，试用分析法证明
1+2a
+
1+2b
≤2
2
．

难度：中等

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3．（1）△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三内角A，B，C的对边．用分析法证明
1
a+b
+
1
b+c
=
3
a+b+c
．
（2）已知a是整数，a²是偶数，用反证法证明a也是偶数．

难度：中等

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4．求证：
3
2
-
1
n+1
＜1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2-
1
n
（n≥2，n∈N₊）．

难度：中等

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5．用分析法证明
a2+b2
2
≥ab．

难度：中等

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6．用分析法证明：已知a，b∈R且a≠b，则|
1
a2+1
-
1
b2+1
|＜|a-b|．

难度：中等

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7．已知a，b，c为正数，且a³+b³+c³=3abc，求证：a=b=c．

难度：中等

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8．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决，如图，在ABC中，∠BAC=50°，点I是两角B、C平分线的交点．
问题（1）：填空：∠BIC= ；
问题（2）：若点D是两条外角平分线的交点：填空：∠BDC= ；
问题（3）：若点E是内角∠ABC，外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由；
问题（4）：在问题（3）的条件下，当∠ACB等于多少度时，CE∥AB．

难度：中等

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9．已知a，b，m都是正数，并且a＜b，分别利用综合法与分析法求证
a+m
b+m
＞
a
b
．

难度：中等

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10．设正实数a，b，c及非负实数x，y满足条件a⁶+b⁶+c⁶=3，（x+1）²+y²≤2，求：I=
1
2a3x+b3y2
+
1
2b3x+c3y2
1
2c3x+a3y2
的最小值，并论证之．

难度：中等

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