知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）离心率为
2
2
，左、右焦点分别为F₁，F₂，左顶点为A，|AF₁|=
2
-1
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l经过F₂与椭圆交于M，N两点，求
F1M
•
F1N
取值范围．

难度：中等

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与y轴交于B₁、B₂两点，F₁为椭圆C的左焦点，且△F₁B₁B₂是腰长为
2
的等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P₁（P₁与Q不重合），则直线P₁Q与x轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

难度：中等

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3．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
5
5
，抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E相交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆E及抛物线G的方程；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得
1
|AB|
+
λ
|CD|
为常数？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．如图，点F为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦点，圆A：（x-t）²+y²=
16
3
（t＜0）与椭圆C的一个公共点为B（0，2），且直线FB与圆A相切于点B．
（Ⅰ）求t的值和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若F′是椭圆C的左焦点，点P是椭圆C上除长轴上两个顶点外的任意一点，且∠F′PF=θ，求θ的最大值．

难度：中等

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5．已知点P为圆x²+y²=4上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q（P与Q不重合），M为线段PQ中点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线y=kx交（1）中轨迹C于A，B两点，当直线MA，MB斜率K_MA，K_MB都存在时，求证：K_MA•K_MB为定值．

难度：中等

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（1，0），其离心率为
2
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x+m与C相交于A，B两点，若
OA
•
OB
=-1（O为坐标原点），求实数m的值．

难度：中等

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7．（Ⅰ）在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，当P在圆上运动时，求线段PD的中点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为曲线为C，斜率为k（k≠0）的直线l交曲线C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，记直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，当3（k₁+k₂）=8k时，证明：直线l过定点．

难度：中等

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8．椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=
1
2
，P是椭圆上的一点，已知△PF₁F₂内切圆半径为1，内心为I，且S △PIF1+S △PIF2=2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆的左焦点F₁做两条互相垂直的弦AB，CD，求|
AB
|+|
CD
|的最小值．

难度：中等

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9．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁和F₂且F₁F₂|=2，点P（1，
3
2
）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率e；
（Ⅱ）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF₂B的面积为
12
2
7
，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

难度：中等

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10．已知⊙M：（x+1）²+y²=
49
4
的圆心为M，⊙N：（x-1）²+y²=
1
4
的圆心为N，一动圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）设A，B分别为曲线P与x轴的左右两个交点，过点（1，0）的直线l与曲线P交于C，D两点．若
AC
•
DB
+
AD
•
CB
=12，求直线l的方程．

难度：中等

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