知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁和F₂且F₁F₂|=2，点P（1，
3
2
）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率e；
（Ⅱ）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF₂B的面积为
12
2
7
，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

难度：中等

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2．已知⊙M：（x+1）²+y²=
49
4
的圆心为M，⊙N：（x-1）²+y²=
1
4
的圆心为N，一动圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）设A，B分别为曲线P与x轴的左右两个交点，过点（1，0）的直线l与曲线P交于C，D两点．若
AC
•
DB
+
AD
•
CB
=12，求直线l的方程．

难度：中等

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3．如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；
（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．

难度：中等

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4．过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）作x轴的垂线，与椭圆C在第一象限内交于点A，过A作直线x=
a2
c
的垂线，垂足为B，|AF|=
3
3
，|AB|=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为圆E：x²+y²=4上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线l₁、l₂，设l₁、l₂分别交圆E于点M、N，证明：MN为圆E的直径．

难度：中等

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5．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，并且过点P（2，-1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．

难度：中等

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，右顶点为A（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB斜率为k₁，直线AD斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值．

难度：中等

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7．如图所示，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(
2
，
2
)，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆E交于P、A两点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C点，直线AC交椭圆E与另一点B，当k=
2
时，椭圆E的右焦点到直线l的距离为
2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）试问∠APB是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由．

难度：中等

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8．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，以原点为圆心，椭圆C的短轴长为直径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2），设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同的两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆上．

难度：较难

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点A(
2
2
，
3
2
)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y=
5
3
上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足
PM
=
NQ
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：中等

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10．（1）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
7
x-
5
y+12=0相切．求椭圆C的方程；
（2）已知⊙A₁：（x+2）²+y²=12和点A₂（2，0），求过点A₂且与⊙A₁相切的动圆圆心P的轨迹方程．

难度：中等

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