知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0）的左右顶点为A，B，右焦点为F，若椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，且离心率为方程2x²-5x+2=0的根，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P为椭圆上任一点，连接AP，PB并分别延长交直线l：x=4于M，N两点，求线段MN的最小值．

难度：中等

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2．（2016•扬州一模）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=
2
3
lh）

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左焦点F（-
3
，0），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求直线l的方程．

难度：较难

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4．已知直线l过定点（0，4），且与抛物线x²=4y相交于点A，B，点O为坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）若△OAB的面积为12
2
，求直线l的方程．

难度：中等

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5．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率 e=
4
5
，且经过点（0，3），左右焦点分别为F₁，F₂，
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△ABF₂的面积S的最大值，并求出S取最大值时直线l的方程．

难度：中等

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6．如果直线L₁：y=2x+1与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1相交于A、B两点，直线L₂与该椭圆相交于C、D两点，且ABCD是平行四边形，则L₂的方程是．

难度：中等

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7．已知抛物线C：y=mx²（m＞0），焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，求抛物线的方程．

难度：较难

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8．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为(-
3
，0)，且实轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求直线y=x-
3
被双曲线C截得的弦长．

难度：中等

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9．设抛物线y=mx²（m≠0）的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程．

难度：中等

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10．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，过点（-2a，0）作椭圆的切线l．
（1）求切线l的斜率；
（2）平行移动直线l（移动过程中不过坐际原点），设移动后的直线与椭圆交于不同两点A，B，点B关于原点对称的点为C，若△ABC面积的最大值是2
3
，求椭圆方程和平移后的直线方程．

难度：中等

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