知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．如图，F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，|OF|=
5
，过F作OF的垂线交椭圆于P₀，Q₀两点，△OP₀Q₀的面积为
4
5
3
．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若过点M（-
5
，0）的直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，且|PM|=2|MQ|，求直线l的方程．

难度：中等

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2．已知双曲线C的渐近线方程为y=±x，一条准线方程为x=
2
2
．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点M（-2，0）的直线l交双曲线C于A、B两点，并且三角形OAB的面积为2
3
，求直线l的方程；
（3）在（2）中是否存在这样的直线l，使OA⊥OB？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为
1
2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为
3
．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF₂与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求
PA
•
F2C
的取值范围．

难度：较难

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4．已知椭圆C与椭圆E：
x2
7
+
y2
5
=1共焦点，并且经过点A(1，
6
2
)，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P₁为点P关于轴x的对称点，QP₁所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

难度：中等

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5．已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆过点E(1，-
2
3
3
)，且焦距为2，过点P（1，1）分别作斜率为k₁，k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当k₁+k₂=1，直线MN是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由．

难度：中等

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6．已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为

，且过点（2，

）．又M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，则

|MN|

|PQ|

为定值（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：中等

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点在圆x²+y²=1上，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线经过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，求出k为何值时，OA⊥OB．

难度：中等

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8．已知椭圆的中心为坐标原点O，它的短轴长为2
2
，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为(
10
c
-c，0)且
OF
=2
FA
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过焦点F的直线交椭圆于P，Q两点．
①若OP⊥OQ，求直线PQ的斜率；
②若直线PQ的斜率为1，在线段OF之间是否存在一个点M（x₀，0），使得以MP，MQ为邻边构成的平行四边形为菱形，若存在，求出M点的坐标；不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4
2
x的焦点重合，连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，设椭圆C位于y轴负半轴上的短轴端点为A，若三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，求m的取值范围．

难度：较难

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10．（2015秋•安阳校级期末）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于
1
2
，它的一个短轴端点是（0，2
3
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，
①若直线AB的斜率为
1
2
，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

难度：中等

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