知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．平面直角坐标系xOy中，点A（-2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-
3
4
．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y=x-1与曲线C相交于P₁，P₂两点，Q是x轴上一点，若△P₁P₂Q的面积为6
2
，求Q点的坐标．

难度：较难

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，点(
3
，
1
2
)在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

难度：较难

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3．椭圆W的中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴，且过点(0，
3
)，其右焦点为F（1，0）．过原点O作直线l₁交椭圆W于A，B两点，过F作直线l₂交椭圆W于C，D两点，且
AB
∥
CD
．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）求证：|AB|²=4|CD|．

难度：较难

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4．已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．
（l）求动圆的圆心轨迹C的方程
（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，使以PQ为直径的圆过原点？

难度：较难

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5．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，抛物线y²=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，且椭圆M的离心率为
2
2
．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A，B两点，且椭圆M上存在点P，满足
OP
=
OA
+
OB
，求m的值．

难度：中等

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6．已知点P（m，n）是抛物线x²=16y上的一点，抛物线的焦点为F，若|PF|=5，则|mn|= ．

难度：中等

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7．已知椭圆
x2
4
+y²=1左顶点为A，下顶点B，分别过A和B作两条平行直线l₁和l₂，其中l₁与y轴交于C点，与椭圆交于另一点为P，l₂与x轴交于D点，与椭圆交于另一点为Q，设直线CD与直线PQ交于点E．
（1）当直线OP与直线OQ的斜率都存在时，证明：直线OP与直线OQ的斜率乘积为定值；
（2）证明：直线OE∥直线l₁．

难度：中等

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8．平面直角坐标系xoy中，点P为椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的下顶点，M、N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线0N的倾斜角，若α∈[
π
4
，
π
3
]，则椭圆C的离心率的取值范围为．

难度：较易

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9．如图，A、B分别是椭圆C：
x2
4
+
y2
b2
=1（2＞b＞0）的左右顶点，F为其右焦点，|AF|×|FB|=3．
（1）求b；
（2）已知直线l过点A且垂直于x轴，点Q是直线l异于A的动点，直线BQ交椭圆C于点P，证明：AP⊥FQ．

难度：中等

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10．已知过点M（
2
2
，
3
2
）的椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，若这个椭圆的一个焦点为F（-1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F（-1，0）、倾斜角为
π
4
的直线l交椭圆C于两点，求这两点间的距离．

难度：较易

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